2009屆高考數學第三輪復習精編模擬十
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
第一部分 選擇題（共50分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、設
其中i，j為互相垂直的單位向量，又
，則實數m =（ ）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A） 3 （B） 2 （C）-3 （D）-2
2、若
則下列結論中不正確的是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(A).
； (B) 
；
(C).
； (D).
3、方程
=
的實根有 ( )
(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 無窮多個
4、過點（－1，3）且垂直于直線
的直線方程為 （ ）
A．
；B．
；C．
； D．
（A）（-
，-
） （B）（-，0）
（C）（0，） （D）（，）
6、已知復數z的模為2，則 |z－ｉ| 的最大值為（ ）
A．1
B
7、已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（ ）
（A）
π （B）
π （C）4π （D）
π
8、對任意θ∈（0，
）都有（ ）
（A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ) （B） sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ)
（C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ （D） sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ)
9、若
.則下列結論中正確的是 （ ）
10、在坐標平面內，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有 （ ）
A、1條 B、2條 C、3條 D、4條
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11、集合
的真子集的個數是
12、如果函數
，那么
13、 橢圓
上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當m取最大值時，點P的坐標是_____________________.
14、(坐標系與參數方程選做題) 設Ｍ、Ｎ分別是曲線
和
上的動點，則Ｍ、Ｎ的最小距離是
15．(幾何證明選講選做題) 
如圖，圓
是
的外接圓，過點C的切線交
的延長線于點
，
，
。則
的長______________，
的長______________．
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
設
是平面上的兩個向量，且
互相垂直.
（1）求λ的值；
（2）若
求
的值.
17．（本小題滿分12分）
設
和
分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量
表示方程
實根的個數（重根按一個計）．
（Ⅰ）求方程有實根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和數學期望；
（Ⅲ）求在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程有實根的概率．
18．（本小題滿分14分）
已知三次函數
在
和
時取極值，且
．
（Ⅰ） 求函數
的表達式；
（Ⅱ）求函數的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數
在區間
上的值域為
，試求
、
應滿足的條件。
19．（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，
底面，
, 點
是
的中點，
，且交
于點
.
（I） 求證： 
平面
；
（II） 求二面角
的余弦值大小；
（III）求證：平面
⊥平面
.
20．（本小題滿分14分）
雙曲線M的中心在原點，并以橢圓
的焦點為焦點，以拋物線
的準線為右準線.
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設直線
：
與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.
① 當
為何值時，使得
?
② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線
對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
21．（本小題滿分14分）
把正奇數數列中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表：
1
3 5
7 9 11
― ― ― ―
― ― ― ― ―
設是位于這個三角形數表中從上往下數第行、從左往右數第個數。
（I）若，求的值；
（II）已知函數的反函數為 ，若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為，求數列的前n項和。
一．選擇題：DDCAB DDDAB
解析：1：
∵
，
∴
∴
，
而i，j為互相垂直的單位向量，故可得
∴
。故選
2：∵
∴0<b<a<1. 由指數函數的單調性可知：
,又∵
∴選(D)
3:作y=
與y=
的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個交點,即方程有3個實根.選(C)
 |
4:由斜率去篩選，則可排除(C)、(D)；再用點（－1，3）去篩選，代入(A)成立,
∴應選(A).
5：取α= ±
、±
,代入求出sinα、tanα
、cotα 的值，易知α=-適合題設條件，∴應選(B).
M - i
2 
6：由復數模的幾何意義，畫出右圖，可知當圓上的點到M的距離最大時即為|z－ｉ|最大。所以選D
7： ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝
， 則S球＝4πR2≥4πr2＝
π＞5π，故選（D）.
8：當θ
0時，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.
當θ
時，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此選D.
9：由于
的含義是
于是若
成立，則有成立；同理，若
成立，則也成立，以上與指令“供選擇的答案中只有一個正確”相矛盾，故排除
.再考慮
，取
代入得
，顯然
，排除.故選
.
10：選項暗示我們，只要判斷出直線的條數就行，無須具體求出直線方程。以A（1，2）為圓心，1為半徑作圓A，以B（3，1）為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知，滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關系是相交，只有兩條公切線。故選B。
二．填空題：11、
；12、
； 13、
或
；14、－1；15、4，
；
解析：
11： 
，顯然集合M中有90個元素，其真子集的個數是，應填.
12：容易發現
，于是 原式＝
，應填
13：記橢圓的二焦點為
，有
則知
顯然當
，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.
故應填或
14.（略）
15.（略）
三．解答題：
16.解：（1）由題設，得
-----------------3分
因為
與
垂直 
即
. 又
，故
，∴
的值為2. ------------------6分
（2）當
垂直時，
------------------8分
，則
------------------10分
------------------12分
17.解:（I）基本事件總數為
，
若使方程有實根，則
，即
。------------------2分
當
時，
； 當
時，
； ------------------3分
當
時，
； 當
時，； ------------------4分
當
時，
； 當
時，, ------------------5分
目標事件個數為
因此方程
有實根的概率為
------------------6分
(II)由題意知，
，則
，
，
故
的分布列為
0
1
2
P
的數學期望
------------------10分
(III)記“先后兩次出現的點數中有
有實根” 為事件N，則
，
， 
.------------------12分
18.解：（Ⅰ）
，
由題意得，
是
的兩個根，
解得，
． ------------------2分
再由
可得
．
∴
． ------------------4分
（Ⅱ）
，
當
時，
；當
時，
；------------------5分
當
時，
；當
時，；------------------6分
當
時，．∴函數
在區間
上是增函數；------------------7分
在區間
上是減函數；在區間
上是增函數．
函數的極大值是
，極小值是
． ------------------9分
（Ⅲ）函數
的圖象是由的圖象向右平移
個單位，向上平移4個單位得到，
所以，函數在區間
上的值域為
（
）．-------------10分
而
，∴
，即
．
于是，函數在區間
上的值域為
．------------------12分
令
得或
．
由的單調性知，
，即
．
綜上所述，、
應滿足的條件是：，且------------------14分
19.（Ⅰ）證明：連結
交
于
，連結
.
是正方形，∴ 是的中點. ----------1分
是
的中點， ∴是
的中位線. ∴
. ----------2分
又∵
平面
， 
平面， ----------3分
∴
平面.------------------4分
（II）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系
，
由
故設
，則
. ----------6分
底面
，
∴
是平面的法向量，
．----------7分
設平面的法向量為
,
,
則
即
∴ 
令
,則
. ----------9分
∴
,
∴二面角
的余弦值為
． ------------------10分
（III）
， 
，
----------11分
又
且
.----------12分
. 又
平面
----------13分
∴平面
⊥平面
. ------------------14分
20.解：（Ⅰ）易知，橢圓
的半焦距為：
，
又拋物線
的準線為：
. ----------2分
設雙曲線M的方程為
，依題意有
，
故
，又
.
∴雙曲線M的方程為
. ----------4分
（Ⅱ）設直線
與雙曲線M的交點為
、
兩點
聯立方程組
消去y得 
，-------5分
∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根， ∴
∴
，
從而有
，
. ----------7分
又
，
∴
.
①
若
，則有
，即
.
∴當
時，使得. ----------10分
② 若存在實數,使A、B兩點關于直線
對稱，則必有 
，
因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；
當
時，由
得 
∵A、B中點
在直線上，
∴
，代入上式得
，又
， ∴
----------13分
將代入并注意到
，得
.
∴當時，存在實數
，使A、B兩點關于直線對稱----------14分
21.解（I）三角形數表中前行共有個數，
第行最后一個數應當是所給奇數列中的第項。
故第行最后一個數是
因此，使得的m是不等式的最小正整數解。----------4分
由得
----------6分
于是，第45行第一個數是
----------7分
（II），。
故 ----------9分
第n行最后一個數是，且有n個數，若將看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，故。
故
，
兩式相減得：
----------13分
----------14分
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