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已知直線y=ａx+1與雙曲線３x²-y²=1交于A、B兩點,(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點,求實數a的值;(2)是否存在這樣的實數a,使A、B兩點關于直線對稱?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

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一．選擇題：DDCAB DDDAB

解析：1：∵，

∴

∴，

而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。故選

2：∵ ∴0<b<a<1. 由指數函數的單調性可知：,又∵ ∴選(D)

3:作y=與y=的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個交點,即方程有3個實根.選(C)

4:由斜率去篩選，則可排除(C)、(D)；再用點（－1，3）去篩選，代入(A)成立,

 ∴應選(A).

5：取α= ±、±,代入求出sinα、tanα 、cotα 的值，易知α=-適合題設條件，∴應選(B).

      M - i
              2 

6：由復數模的幾何意義，畫出右圖，可知當圓上的點到M的距離最大時即為|z－ｉ|最大。所以選D

7： ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r＝， 則S_球＝4πR²≥4πr²＝π＞5π，故選（D）.

8：當θ0時，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.

當θ時，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此選D.

9：由于的含義是于是若成立，則有成立；同理，若成立，則也成立，以上與指令“供選擇的答案中只有一個正確”相矛盾，故排除.再考慮，取代入得，顯然，排除.故選.

10：選項暗示我們，只要判斷出直線的條數就行，無須具體求出直線方程。以A（1，2）為圓心，1為半徑作圓A，以B（3，1）為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知，滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關系是相交，只有兩條公切線。故選B。

二．填空題：11、；12、； 13、或；14、－1；15、4，；

解析：

11：　，顯然集合M中有90個元素，其真子集的個數是，應填.

12：容易發現，于是   原式＝，應填

13：記橢圓的二焦點為，有

則知

    顯然當，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.

    故應填或

14.（略）

15.（略）

三．解答題：

16.解：（1）由題設，得

-----------------3分

因為與垂直   即

. 又，故，∴的值為2.   ------------------6分

（2）當垂直時，

 ------------------8分

，則------------------10分

  ------------------12分

17.解:（I）基本事件總數為，

若使方程有實根，則，即。------------------2分

當時，；  當時，； ------------------3分

 當時，；   當時，；  ------------------4分

 當時，；     當時，,      ------------------5分

目標事件個數為

 因此方程 有實根的概率為------------------6分

(II)由題意知，，則 ，，

故的分布列為

0

1

2

P

的數學期望    ------------------10分

(III)記“先后兩次出現的點數中有5”為事件M，“方程 有實根” 為事件N，則，，   .------------------12分

18.解：（Ⅰ），                            

由題意得，是的兩個根，

解得，．                      ------------------2分

再由可得．

∴．  ------------------4分

（Ⅱ），

當時，；當時，；------------------5分
當時，；當時，；------------------6分
當時，．∴函數在區間上是增函數；------------------7分
在區間上是減函數；在區間上是增函數．
函數的極大值是，極小值是．         ------------------9分

（Ⅲ）函數的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到，

所以，函數在區間上的值域為（）．-------------10分

而，∴，即．                           

于是，函數在區間上的值域為．------------------12分

令得或．

由的單調性知，，即．

綜上所述，、應滿足的條件是：，且------------------14分

19.（Ⅰ）證明：連結交于，連結.

是正方形，∴ 是的中點. ----------1分

是的中點， ∴是的中位線.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，

由故設，則

.  ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

設平面的法向量為,

,

則  即 

 ∴     令,則.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值為． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分

20.解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

 又拋物線的準線為：.    ----------2分

設雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為. ----------4分

（Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點

聯立方程組 消去y得  ，-------5分

∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根， ∴

∴，

從而有，.   ----------7分

又，

∴.

①     若，則有 ，即 .

∴當時，使得.    ----------10分

② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有 ，

因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；

當時，由 得

∵A、B中點在直線上，

∴，代入上式得

，又， ∴----------13分

將代入并注意到，得 .

∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱----------14分

21.解（I）三角形數表中前行共有個數，

 第行最后一個數應當是所給奇數列中的第項。

  故第行最后一個數是        

  因此，使得的m是不等式的最小正整數解。----------4分

  由得

  ----------6分

于是，第45行第一個數是 

     ----------7分

（II），。 

故        ----------9分

 第n行最后一個數是，且有n個數，若將看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，故。

  故

   ，

    兩式相減得：

        ----------13分

         ----------14分