2009屆高考數學第三輪復習精編模擬三
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
第一部分 選擇題（共50分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、設集合
和
都是自然數集合
，映射
把集合中的元素
映射到集合中的元素
，則在映射
下，象20的原象是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2、已知
、
均為單位向量，它們的夾角為60°，那么｜＋3|= （ ）
A．
B
C．
D．4
3、向高為
的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量
與水深
的函數關系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是 ( )
4、若x為三角形中的最小內角，則函數y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1，
B．（0，
C．[
，
] D．（，
5、原市話資費為每3分鐘0.18元，現調整為前3分鐘資費為0.22元，超過3分鐘的，每分鐘按0.11元計算，與調整前相比，一次通話提價的百分率（ ）
A．不會提高70% B．會高于70%，但不會高于90%
C．不會低于10% D．高于30%，但低于100%
6、已知{an}是等差數列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n項和Sn最小的n是（ ）
A．4 B．
7、設a,b是滿足ab<0的實數，那么 （ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
8、棱長都為的四面體的四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
A、
B、
C、
D、
9、給定四條曲線：①
，②
，③
，④
,其中與直線
僅有一個交點的曲線是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
10、定義函數
，若存在常數C，對任意的
，存在唯一的
，使得
，則稱函數
在D上的均值為C。已知
，則函數
上的均值為（ ）
A、
B、
C、
D、10
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11、不等式
的解集是______。
12、已知0<t<1，
、
,則
與
的大小關系為______.
13、不論k為何實數，直線
與曲線
恒有交點，則實數a的取值范圍是 。
14、(坐標系與參數方程選做題) 在極坐標系中，已知直線過點（1，0），且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為
，則直線的極坐標方程為______________.
15．(幾何證明選講選做題) 已知
是半圓
的直徑，點
在半圓上，
于點
，且
，設
，則
＝
．
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
設全集
，函數
的定義域為A,函數
的定義域為B
(Ⅰ)求集合
與
；
(Ⅱ)求
、
17．（本小題滿分12分）
已知數列{an}、{bn}滿足：a1=1，a2=a（a為實數），且
，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）求證：“若數列{an}是等比數列，則數列{bn}也是等比數列”是真命題；
（Ⅱ）寫出（Ⅰ）中命題的逆命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.
18．（本小題滿分14分）
在一次考試中共有８道選擇題，每道選擇題都有４個選項，其中有且只有一個選項是正確的．評分標準規定：“每題只選一個選項，選對得５分，不選或選錯得０分”．某考生已確定有4道題答案是正確的，其余題中：有兩道只能分別判斷２個選項是錯誤的，有一道僅能判斷１個選項是錯誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，求：
（１）該考生得40分的概率；
（２）該考生得多少分的可能性最大？
（３）該考生所得分數的數學期望．
19． (本小題滿分14分)
已知圓C：
，圓C關于直線
對稱，圓心在第二象限，半徑為
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知不過原點的直線
與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線的方程。
20． (本小題滿分14分)
如圖，已知正方體
的棱長為2，E、F分別是
、
的中點，過
、E、F作平面
交
于G..
（Ⅰ）求證：
∥
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體
的體積.
21．（本小題滿分14分）
對于定義域為D的函數
，若同時滿足下列條件：
①在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區間[
]
，使在[]上的值域為[]；那么把（
）叫閉函數。
（Ⅰ）求閉函數
符合條件②的區間[]；
（Ⅱ）判斷函數
是否為閉函數？并說明理由；
（Ⅲ）若
是閉函數，求實數
的取值范圍。
一．選擇題：CCBAB BBADA
解析：1：由映射概念可知
可得
.故選
.
2：如圖，
＋3
＝
，在
中，
由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝
，故選C。
3：取
，由圖象可知，此時注水量
大于容器容積的
，故選B。
4：因
為三角形中的最小內角，故
，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故應選A。
5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故選B。
6：等差數列的前n項和Sn=
n2+(a1-)n可表示為過原點的拋物線，又本題中a1=-9<0,
S3=S7,可表示如圖，由圖可知，n=
,是拋物線的對稱軸，所以n=5是拋物線的對稱軸，所以n=5時Sn最小，故選B。
7：∵A，B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B為真，故選B。
8：借助立體幾何的兩個熟知的結論：（1）一個正方體可以內接一個正四面體；（2）若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑
，從而求出球的表面積為
，故選A。
9：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線
是相交的，因為直線上的點
在橢圓內，對照選項故選D。
10：
，從而對任意的
，存在唯一的
，使得
為常數。充分利用題中給出的常數10，100。令
,當時，
，由此得
故選A。
二．填空題：11、
； 12、
； 13、
；
14、
； 15、
；
解析：11：不等式
等價于
，也就是
，所以
，從而應填．
12： 
，不論
的值如何，
與
同號，所以
13：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓
的圓心的距離不超過半徑，∴。
14.解：由正弦定理得
即
，∴所求直線的極坐標方程為.
15.解：
即
，
三．解答題：
16．解：(Ⅰ)函數 
要有意義需滿足：
即
，解得
，
…………………………………3分
函數
要有意義需滿足
，即
，
解得
或
…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
，
，
，
………………………12分
17.解：（I）因為
是等比數列，
又
…………………………………………2分
∴
是以a為首項，
為公比的等比數列.………………………………6分
（II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數列，則也是等比數列，是假命題.
……………………………………………………………8分
設的公比為
則
又
是以1為首項，q為公比的等比數列，
是以為首項，q為公比的等比數列.……………………10分
即為1，a，q，aq，q2，aq2，…
但當q≠a2時，不是等比數列
故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分
另解：取a=2，q=1時，
因此是等比數列，而不是等比數列.
故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分
18.解：（1）設選對一道“可判斷２個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷１個選項是錯誤的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C.則
---
所以得４０分的概率
………………………………4分
(2) 該考生得20分的概率
=
……………………5分
該考生得25分的概率：
=
……………………6分
該考生得30分的概率：
=
= 
--------------7分
該考生得35分的概率：
=
……………………9分
∵
∴該考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分
（3）該考生所得分數的數學期望
=
………………………………14分
19．解：（Ⅰ）由
知圓心C的坐標為
--------------（1分）
∵圓C關于直線
對稱
∴點在直線上 -----------------（2分）
即D+E=－2，------------①且
-----------------②-----------------（3分）
又∵圓心C在第二象限 ∴
-----------------（4分）
由①②解得D=2,E=－4 -----------------（5分）
∴所求圓C的方程為：
------------------（6分）
（Ⅱ）
切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零，設
：
-----------（7分）
圓C:
圓心
到切線的距離等于半徑
，
即
。
------------------（12分）
所求切線方程
------------------（14分）
20．（Ⅰ）證明：在正方體
中，∵平面
∥平面
平面
平面
，平面平面
∴
∥
.-------------------------------------3分
（Ⅱ）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD1為
x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴
，
設平面的法向量為 
則由
，和
，得
，
取
，得
，
，∴
------------------------------6分
又平面
的法向量為
（0，0，2）
故
；
∴截面與底面所成二面角的余弦值為
. ------------------9分
（Ⅲ）解：設所求幾何體
的體積為V，
∵
～
，
，
，
∴
，
，
∴
，
--------------------------11分
故V棱臺
∴V=V正方體-V棱臺
. ------------------14分
21．解：（Ⅰ）由題意，
在[
]上遞減，則
解得
所以，所求的區間為[-1，1] ………………………4分
（Ⅱ）取
則
，即
不是
上的減函數。
取
，
即不是上的增函數
所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。-------9分
（Ⅲ）若
是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，函數的值域為[]，即
，
為方程
的兩個實數根，
即方程
有兩個不等的實根。
當
時，有
，解得
。
當
時，有
，無解。
綜上所述，
---------------------------------------------14分
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