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（本小題滿分14分）
某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可以繼續參加科目B的考試。每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得該項合格證書，現在某同學將要參加這項考試，已知他每次考科目A成績合格的概率均為，每次考科目B成績合格的概率均為。假設他在這項考試中不放棄所有的考試機會，且每次的考試成績互不影響，記他參加考試的次數為．
（Ⅰ）求的分布列和期望；
（Ⅱ）求該同學在這項考試中獲得合格證書的概率．

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（本小題滿分14分）

從參加高三年級期中考試的學生中隨機抽出40名學生，將其數學成績（均為整數）分成六組[40，50，[50，60，…[90，100]后得到如下頻率分布直方圖.
(Ⅰ)同一組數據用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；
（Ⅱ）從上述40名學生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[70，80的概率；
（Ⅲ）從上述40名學生中隨機抽取2人，抽到的學生成績在[40，60，記為0分，在[60，100]，記為1分．用X表示抽取結束后的總記分，求X的分布列和數學期望．

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一．選擇題：CCBAB BBADA

解析：1：由映射概念可知可得.故選.

2：如圖，＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝，故選C。

3：取，由圖象可知，此時注水量大于容器容積的，故選B。

4：因為三角形中的最小內角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故應選A。

5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故選B。

6：等差數列的前n項和S_n=n²+(a₁-)n可表示為過原點的拋物線，又本題中a₁=-9<0, S₃=S₇,可表示如圖，由圖可知，n=,是拋物線的對稱軸，所以n=5是拋物線的對稱軸，所以n=5時S_n最小，故選B。

7：∵A，B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B為真，故選B。

8：借助立體幾何的兩個熟知的結論：（1）一個正方體可以內接一個正四面體；（2）若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑，從而求出球的表面積為，故選A。

9：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線是相交的，因為直線上的點在橢圓內，對照選項故選D。

10：，從而對任意的，存在唯一的，使得為常數。充分利用題中給出的常數10，100。令,當時，，由此得故選A。

二．填空題：11、；   12、；   13、；

14、；  15、；

解析：11：不等式等價于，也就是，所以，從而應填．

12： ，不論的值如何，與同號，所以

13：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓的圓心的距離不超過半徑，∴。

14.解：由正弦定理得即，∴所求直線的極坐標方程為.

15.解：即，

三．解答題：

16．解：(Ⅰ)函數 要有意義需滿足：即，解得，   …………………………………3分

函數要有意義需滿足，即，

解得或  …………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，………………………12分

17.解：（I）因為是等比數列，

       又…………………………………………2分

       ∴是以a為首項，為公比的等比數列.………………………………6分

   （II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數列，則也是等比數列，是假命題.

                           ……………………………………………………………8分

       設的公比為則

       又

       是以1為首項，q為公比的等比數列，

       是以為首項，q為公比的等比數列.……………………10分

       即為1，a，q，aq，q²，aq²，…

       但當q≠a²時，不是等比數列

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

       另解：取a=2，q=1時，

       因此是等比數列，而不是等比數列.

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

18.解：（1）設選對一道“可判斷２個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷１個選項是錯誤的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C.則---

所以得４０分的概率………………………………4分

(2) 該考生得20分的概率=……………………5分

該考生得25分的概率：

=  ……………………6分

該考生得30分的概率：==   --------------7分

該考生得35分的概率：

=            ……………………9分

∵　　∴該考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

（3）該考生所得分數的數學期望=

………………………………14分

19．解：（Ⅰ）由知圓心C的坐標為--------------（1分）

∵圓C關于直線對稱

∴點在直線上  -----------------（2分）

即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）

又∵圓心C在第二象限   ∴  -----------------（4分）

由①②解得D=2,E=－4     -----------------（5分）

∴所求圓C的方程為：  ------------------（6分）

  （Ⅱ）切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零，設：  -----------（7分）

        圓C:

圓心到切線的距離等于半徑，

即                    

。                    ------------------（12分）

所求切線方程     ------------------（14分）

20．（Ⅰ）證明：在正方體中，∵平面∥平面

      平面平面，平面平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為

x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

∴，

      設平面的法向量為

     則由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量為（0，0，2）

故；

    ∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------9分

（Ⅲ）解：設所求幾何體的體積為V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------11分

故V_棱臺

     ∴V=V_正方體-V_棱臺. ------------------14分

21．解：（Ⅰ）由題意，在[]上遞減，則解得

所以，所求的區間為[-1，1]         ………………………4分

（Ⅱ）取則，即不是上的減函數。

取，

即不是上的增函數

所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。-------9分

（Ⅲ）若是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，函數的值域為[]，即，為方程的兩個實數根，

即方程有兩個不等的實根。

當時，有，解得。

當時，有，無解。

綜上所述，---------------------------------------------14分