2009年高考數學難點突破專題輔導三十三
難點33 函數的連續及其應用
函數的連續性是新教材新增加的內容之一.它把高中的極限知識與大學知識緊密聯在一起.在高考中，必將這一塊內容溶入到函數內容中去，因而一定成為高考的又一個熱點.本節內容重點闡述這一塊知識的知識結構體系.
●難點磁場
(★★★★)已知函數f(x)=
(1)討論f(x)在點x=－1,0,1處的連續性；
(2)求f(x)的連續區間.
●案例探究
［例1］已知函數f(x)=
,
(1)求f(x)的定義域，并作出函數的圖象；
(2)求f(x)的不連續點x0;
(3)對f(x)補充定義，使其是R上的連續函數.
命題意圖：函數的連續性，尤其是在某定點處的連續性在函數圖象上有最直觀的反映.因而畫函數圖象去直觀反映題目中的連續性問題也就成為一種最重要的方法.
知識依托：本題是分式函數，所以解答本題的閃光點是能準確畫出它的圖象.
錯解分析：第(3)問是本題的難點，考生通過自己對所學連續函數定義的了解.應明確知道第(3)問是求的分數函數解析式.
技巧與方法：對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖象進行解答.
解：(1)當x+2≠0時，有x≠－2
因此，函數的定義域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)
當x≠－2時，f(x)= =x－2,
其圖象如上圖
(2)由定義域知，函數f(x)的不連續點是x0=－2.
(3)因為當x≠－2時，f(x)=x－2,所以
=－4.
因此，將f(x)的表達式改寫為f(x)=
則函數f(x)在R上是連續函數.
［例2］求證：方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一個正根，且它不大于a+b.
命題意圖：要判定方程f(x)=0是否有實根.即判定對應的連續函數y=f(x)的圖象是否與x軸有交點，因此根據連續函數的性質，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可.本題主要考查這種解題方法.
知識依托：解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數值其一為負，另一為正.
錯解分析：因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續性的性質在解這類題目中的簡便作用.
證明：設f(x)=asinx+b－x,
則f(0)=b＞0,f(a+b)=a?sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0,
又f(x)在(0,a+b］內是連續函數，所以存在一個x0∈(0,a+b］，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a?sinx+b的根.
因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，且它不大于a+b.
●錦囊妙計
1.深刻理解函數f(x)在x0處連續的概念：
等式
f(x)=f(x0)的涵義是：(1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在；(2)f(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x0附近有定義；(3)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數值，即f(x)=f(x0).
函數f(x)在x0處連續，反映在圖象上是f(x)的圖象在點x=x0處是不間斷的.
2.函數f(x)在點x0不連續，就是f(x)的圖象在點x=x0處是間斷的.
其情形：(1)f(x)存在；f(x0)存在，但f(x)≠f(x0);(2)f(x)存在，但f(x0)不存在.(3) f(x)不存在.
3.由連續函數的定義，可以得到計算函數極限的一種方法：如果函數f(x)在其定義區間內是連續的，點x0是定義區間內的一點，那么求x→x0時函數f(x)的極限，只要求出f(x)在點x0處的函數值f(x0)就可以了，即f(x)=f(x0).
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)若f(x)=
在點x=0處連續，則f(0)等于( )
A.
B.
C.1 D.0
2.(★★★★)設f(x)=
則f(x)的連續區間為( )
A.(0，2) B.(0，1)
C.(0，1)∪(1，2) D.(1，2)
二、填空題
3.(★★★★)
=_________.
4.(★★★★)若f(x)=
處處連續，則a的值為_________.
三、解答題
5.(★★★★★)已知函數f(x)=
(1)f(x)在x=0處是否連續？說明理由；
(2)討論f(x)在閉區間［－1,0］和［0,1］上的連續性.
6.(★★★★)已知f(x)=
(1)求f(－x);
(2)求常數a的值，使f(x)在區間(－∞,+∞)內處處連續.
7.(★★★★)求證任何一個實系數一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一個實數根.
8.(★★★★)求函數f(x)=
的不連續點和連續區間.
難點磁場
解：(1)
f(x)=3, 
f(x)=－1,所以
f(x)不存在，所以f(x)在x=－1處不連續，
但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1處右連續，左不連續
f(x)=3=f(1), 
f(x)不存在，所以
f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續，但左連續，右不連續.
又
f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續.
(2)f(x)中，區間(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三個函數都是初等函數，因此f(x)除不連續點x=±1外，再也無不連續點，所以f(x)的連續區間是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5
.
殲滅難點訓練
一、1.解析：
答案：A
2.解析：
即f(x)在x=1點不連續，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續.
答案：C
二、3.解析：利用函數的連續性，即
,
答案：
答案：
三、5.解：f(x)=
(1) 
f(x)=－1, 
f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續.
(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再無間斷點，由(1)知f(x)在x=0處右連續，所以f(x)在［
－1，0］上是不連續函數，在［0,1］上是連續函數.
6.解：(1)f(－x)=
(2)要使f(x)在(－∞,+∞)內處處連續，只要f(x)在x=0連續，
f(x)
= 
=
f(x)=(a+bx)=a,因為要f(x)在x=0處連續，只要 f(x)= f(x)
= f(x)=f(0),所以a=
7.證明：設f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數f(x)在(－∞,+∞)連續，且x→+∞時，f(x)→+∞;x→－∞時，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,?+∞),使f(a)?f(b)＜0,所以f(x)的圖象至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實根.
8.解：不連續點是x=1,連續區間是(－∞,1),(1,+∞)
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