2009年高考數學難點突破專題輔導二十五
難點25 圓錐曲線綜合題
圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應用，與圓錐曲線有關的定值問題、最值問題、參數問題、應用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯系，圓錐曲線知識和三角、復數等代數知識的橫向聯系，解答這部分試題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整.
●難點磁場
(★★★★)若橢圓
=1(a＞b＞0)與直線l：x+y=1在第一象限內有兩個不同的交點，求a、b所滿足的條件，并畫出點P(a,b)的存在區域.
●案例探究
［例1］已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C：y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.
(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？
(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關系？
命題意圖：本題考查圓錐曲線科內綜合的知識及學生綜合、靈活處理問題的能力，屬
★★★★★級題目.
知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識.
錯解分析：在判斷d與R的關系時，x0的范圍是學生容易忽略的.
技巧與方法：對第(2)問，需將目標轉化為判斷d=x0+
與R=
的大小.
解：(1)設圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圓k的半徑R=|AK|=
∴|MN|=2
=
∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.
(2)設M(0,y1)、N(0,y2)在圓k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，
令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0
∴y1y2=y02－a2
∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.
∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=
又|MN|=|y1－y2|=
∴|y1|+|y2|=|y1－y2|
∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.
∴0≤x0≤.
圓心k到拋物線準線距離d=x0+≤a,而圓k半徑R=
≥a.
且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.
［例2］如圖，已知橢圓
=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f(m)=||AB|－|CD||
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最值.
命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數關系式，并求其最值，體現了圓錐曲線與代數間的科間綜合.屬★★★★★級題目.
知識依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調性求函數的最值.
錯解分析：在第(1)問中，要注意驗證當2≤m≤5時，直線與橢圓恒有交點.
技巧與方法：第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數，則可迅速將||AB|－|CD||化簡.第(2)問，利用函數的單調性求最值是常用方法.
解：(1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1
∴橢圓的焦點為F1(－1,0),F2(1,0).
故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準線方程為x=±
,即x=±m.
∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)
考慮方程組
,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)
整理得：(
Δ=
∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=
.
又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上
∴|AB|=|xB－xA|=
=(xB－xA)?,|CD|=(xD－xC)
∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|
又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|－|CD||=|xB+xC|?=|
|?=
(2≤m≤5)
故f(m)=，m∈［2,5］.
(2)由f(m)=，可知f(m)=
又2－
≤2－
≤2－
∴f(m)∈［
］
故f(m)的最大值為
，此時m=2;f(m)的最小值為
，此時m=5.
［例3］艦A在艦B的正東
千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發射炮彈的方位角和仰角應是多少？
命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應用，及將實際問題轉化成數學問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：線段垂直平分線的性質，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程.
錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應對方位角的概念掌握清楚.
技巧與方法：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.
解：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為(3，0)、(－3，0)、(－5，2
).
由于B、C同時發現動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x－3y+7=0.
又由A、B兩艦發現動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線
=1的右支上.
直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.
據已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發射炮彈的方位角應是北偏東30°.
設發射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則
,
∴sin2θ=
,∴仰角θ=30°.
●錦囊妙計
解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.
(1)對于求曲線方程中參數的取值范圍問題，需構造參數滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數的取值范圍；或建立關于參數的目標函數，轉化為函數的值域.
(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)已知A、B、C三點在曲線y=
上，其橫坐標依次為1，m,4(1＜m＜4)，當△ABC的面積最大時，m等于( )
A.3 B.
C.
D.
2.(★★★★★)設u,v∈R，且|u|≤
,v＞0,則(u－v)2+(
)2的最小值為( )
A.4 B
二、填空題
3.(★★★★★)A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使
∠OPA=
,則橢圓離心率的范圍是_________.
4.(★★★★)一輛卡車高3米，寬1.6米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為a米，則能使卡車通過的a的最小整數值是_________.
5.(★★★★★)已知拋物線y=x2－1上一定點B(－1，0)和兩個動點P、Q，當P在拋物線上運動時，BP⊥PQ，則Q點的橫坐標的取值范圍是_________.
三、解答題
6.(★★★★★)已知直線y=kx－1與雙曲線x2－y2=1的左支交于A、B兩點，若另一條直線l經過點P(－2，0)及線段AB的中點Q，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.
7.(★★★★★)已知拋物線C：y2=4x.
(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線C的焦點F及準線l分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；
(2)若M(m,0)是x軸上的一定點，Q是(1)所求軌跡上任一點，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.
8.(★★★★★)如圖，
為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設
=λ，求λ的取值范圍.
［學法指導］怎樣學好圓錐曲線
圓錐曲線將幾何與代數進行了完美結合.借助純代數的解決手段研究曲線的概念和性質及直線與圓錐曲線的位置關系，從數學家笛卡爾開創了坐標系那天就已經開始.
高考中它依然是重點，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有.為此需要我們做到：
1.重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質.這些都是圓錐曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內容.
2.重視求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命題對象難度較大.所以要掌握住一般方法：定義法、直接法、待定系數法、相關點法、參數法等.
3.加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習.此處一直為高考的熱點.這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯系去解決.這樣加強了對數學各種能力的考查.
4.重視對數學思想、方法進行歸納提煉，達到優化解題思維、簡化解題過程.
(1)方程思想
解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量.
(2)用好函數思想方法
對于圓錐曲線上的一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a,b,c,e之間構成函數關系，函數思想在處理這類問題時就很有效.
(3)掌握坐標法
坐標法是解決有關圓錐曲線問題的基本方法.近幾年都考查了坐標法，因此要加強坐標法的訓練.
難點磁場
解：由方程組
消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ①
則橢圓與直線l在第一象限內有兩個不同的交點的充要條件是方程①在區間(0，1）內有兩相異實根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),則有
同時滿足上述四個條件的點P(a,b)的存在區域為下圖所示的陰影部分：
殲滅難點訓練
一、1.解析：由題意知A(1，1)，B(m,
),C(4,2).
直線AC所在方程為x－3y+2=0,
點B到該直線的距離為d=
.
∵m∈(1,4),∴當
時，S△ABC有最大值，此時m=
.
答案：B
2.解析：考慮式子的幾何意義，轉化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值.
答案：C
二、3.解析：設橢圓方程為
=1(a＞b＞0),以OA為直徑的圓：x2－ax+y2=0,兩式聯立消y得
x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達定理x2=
－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a
＜e＜1.
答案：
＜e＜1
4.解析：由題意可設拋物線方程為x2=－ay,當x=時，y=－
；當x=0.8時，y=－
.由題意知
≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整數為13.
答案：13
5.解析：設P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)
∵BP⊥PQ,∴
=－1,
即t2+(s－1)t－s+1=0
∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,
解得s≤－3或s≥1.
答案：(－∞,－3
∪
1,+∞)
三、6.解：設A(x1,y1）,B(x2,y2).
由
,得(1－k2）x2+2kx－2=0,
又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點，
故有
解得－＜k＜－1
7.解：由拋物線y2=4x,得焦點F(1,0),準線l：x=－1.
(1)設P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設點B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y2=x－1(x＞1).
(2)設Q(x,y),則|MQ|=
?
(?)當m－≤1,即m≤
時，函數t=[x－(m－)2]+m－
在(1，+∞)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值.
(?)當m－＞1,即m＞時，函數t=[x2－(m－)2]+m－在x=m－處有最小值m－,∴|MQ|min=
.
8.解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2
＞|AB|=4.
∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.
設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2
,∴a=,c=2,b=1.
∴曲線C的方程為
+y2=1.
(2)設直線l的方程為y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞
.由圖可知
=λ
由韋達定理得
將x1=λx2代入得
兩式相除得
①
M在D、N中間，∴λ＜1 ②
又∵當k不存在時，顯然λ=
(此時直線l與y軸重合).
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com