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2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導二十三

難點23  求圓錐曲線方程

求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.

●難點磁場

1.(★★★★★)雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F₁、F₂，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF₁|,|F₁F₂|,|PF₂|成等比數(shù)列，則b²=_________.

2.(★★★★)如圖，設圓P滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.

●案例探究

［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

 (1)建立坐標系并寫出該雙曲線方程.

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m²,塔壁厚度不計，π取3.14).

命題意圖：本題考查選擇適當?shù)淖鴺讼到�立曲線方程和解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積分法求體積.

錯解分析：建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙鉀Q本題的關鍵，積分求容積是本題的重點.

技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程，第二問是積分法求體積.

解：如圖，建立直角坐標系xOy,使AA′在x軸上，AA′的中點為坐標原點O，CC′與BB′平行于x軸.

設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),則a=AA′=7

又設B(11,y₁),C(9,x₂)因為點B、C在雙曲線上，所以有

由題意，知y₂－y₁=20,由以上三式得：y₁=－12,y₂=8,b=7

故雙曲線方程為=1.

(2)由雙曲線方程，得x²=y²+49

設冷卻塔的容積為V(m³),則V=π,經計算，得V=4.25×10³(m³)

答：冷卻塔的容積為4.25×10³m³.

［例2］過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.

命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.

錯解分析：不能恰當?shù)乩�用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當?shù)乩�用好對稱問題是解決好本題的關鍵.

技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理.

解法一：由e=,得,從而a²=2b²,c=b.

設橢圓方程為x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在橢圓上.

則x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,兩式相減得，(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,

設AB中點為(x₀,y₀),則k_AB=－,又(x₀,y₀)在直線y=x上，y₀=x₀,于是－=

－1,k_AB=－1,設l的方程為y=－x+1.

右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x′,y′),

由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.

∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1.

解法二：由e=,從而a²=2b²,c=b.

設橢圓C的方程為x²+2y²=2b²,l的方程為y=k(x－1),

將l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,則x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.

直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=

－1.

若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.

［例3］如圖，已知△P₁OP₂的面積為，P為線段P₁P₂的一個三等分點，求以直線OP₁、OP₂為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.

命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：定比分點坐標公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標適合方程.

錯解分析：利用離心率恰當?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關鍵，正確地表示出

△P₁OP₂的面積是學生感到困難的.

技巧與方法：利用點P在曲線上和△P₁OP₂的面積建立關于參數(shù)a、b的兩個方程，從而求出a、b的值.

解：以O為原點，∠P₁OP₂的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.

設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)

由e²=，得.

∴兩漸近線OP₁、OP₂方程分別為y=x和y=－x

設點P₁(x₁, x₁),P₂(x₂,－x₂)(x₁＞0,x₂＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,

即(x₁+2x₂)²－(x₁－2x₂)²=9a²,整理得8x₁x₂=9a²                                          ①

即x₁x₂=                                                          ②

由①、②得a²=4,b²=9

故雙曲線方程為=1.

●錦囊妙計

一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.

定形――指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.

定式――根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx²+ny²=1(m＞0,n＞0).

定量――由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關系，通過解方程得到量的大小.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

1.解析：設F₁(－c,0）、F₂(c,0)、P(x,y),則

|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,

又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|?|PF₂|,

依雙曲線定義，有|PF₁|－|PF₂|=4,

依已知條件有|PF₁|?|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,

又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.

答案：1

2.解法一：設所求圓的圓心為P(a,b），半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|

∵圓P截y軸所得弦長為2，∴r²=a²+1

又由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長|AB|=r,故r²=2b²,從而有2b²－a²=1

又∵點P(a,b)到直線x－2y=0的距離d=,

因此，5d²=|a－2b|²=a²+4b²－4ab≥a²+4b²－2(a²+b²)=2b²－a²=1,

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d²=1,從而d取最小值，為此有,

∵r²=2b², ∴r²=2

于是所求圓的方程為：(x－1）²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

解法二：設所求圓P的方程為(x－a)²+(y－b)²=r²(r＞0)

設A(0,y₁),B(0,y₂)是圓與y軸的兩個交點，則y₁、y₂是方程a²+(y－b)²=r²的兩根，

∴y_1，2=b±

由條件①得|AB|=2，而|AB|=|y₁－y₂|,得r²－a²=1

設點C(x₁,0)、D(x₂,0)為圓與x軸的兩個交點，則x₁,x₂是方程(x－a)²+b²=r²的兩個根，

∴x_1，2=a±

由條件②得|CD|=r,又由|CD|=|x₂－x₁|，得2b²=r²,故2b²=a²+1

設圓心P(a,b)到直線x－2y=0的距離為d=

∴a－2b=±d,得a²=(2b±d)²=4b²±4bd+5d²

又∵a²=2b²－1,故有2b²±4bd+5d²+1=0.把上式看作b的二次方程，

∵方程有實根.

∴Δ=8(5d²－1)≥0,得5d²≥1.

∴d_min=,將其代入2b²±4bd+5d²+1=0,

得2b²±4b+2=0,解得b=±1.

從而r²=2b²=2,a=±=±1

于是所求圓的方程為(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

殲滅難點訓練

一、1.解析：將直線方程變?yōu)?i>x=3－2y,代入圓的方程x²+y²+x－6y+m=0,

得(3－2y)²+y²+(3－2y)+m=0.

整理得5y²－20y+12+m=0,設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)

則y₁y₂=,y₁+y₂=4.

又∵P、Q在直線x=3－2y上，

∴x₁x₂=(3－2y₁)(3－2y₂)=4y₁y₂－6(y₁+y₂)+9

故y₁y₂+x₁x₂=5y₁y₂－6(y₁+y₂)+9=m－3=0，故m=3.

答案：A

2.解析：由題意，可設橢圓方程為： =1,且a²=50+b²,

即方程為=1.

將直線3x－y－2=0代入，整理成關于x的二次方程.

由x₁+x₂=1可求得b²=25,a²=75.

答案：C

二、3.解析：所求橢圓的焦點為F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=|PF₁|+|PF₂|.

欲使2a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF₁|+|PF₂|最小，利用對稱性可解.?

答案： =1

4.解析：設所求圓的方程為(x－a)²+(y－b)²=r²

則有 

由此可寫所求圓的方程.

答案：x²+y²－2x－12=0或x²+y²－10x－8y+4=0

三、5.解：|MF|_max=a+c,|MF|_min=a－c,則(a+c)(a－c)=a²－c²=b²,

∴b²=4,設橢圓方程為                                                                    ①

設過M₁和M₂的直線方程為y=－x+m                                                               ②

將②代入①得：(4+a²)x²－2a²mx+a²m²－4a²=0                                                  ③

設M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂),M₁M₂的中點為(x₀,y₀),

則x₀= (x₁+x₂)=,y₀=－x₀+m=.

代入y=x,得,

由于a²＞4,∴m=0,∴由③知x₁+x₂=0,x₁x₂=－,

又|M₁M₂|=,

代入x₁+x₂,x₁x₂可解a²=5,故所求橢圓方程為： =1.

6.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，

如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(－10，－4）、(10，－4）

設拋物線方程為x²=－2py,將A點坐標代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,

于是拋物線方程為x²=－25y.

由題意知E點坐標為(2，－4)，E′點橫坐標也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米.

7.解：由e=,可設橢圓方程為=1,

又設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,兩式相減，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.

化簡得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,

代入橢圓方程得3x²－12x+18－2b²=0.

有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,

得，解得b²=8.

故所求橢圓方程為=1.