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某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.

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1.解析：設F₁(－c,0）、F₂(c,0)、P(x,y),則

|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,

又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|?|PF₂|,

依雙曲線定義，有|PF₁|－|PF₂|=4,

依已知條件有|PF₁|?|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,

又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.

答案：1

2.解法一：設所求圓的圓心為P(a,b），半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|

∵圓P截y軸所得弦長為2，∴r²=a²+1

又由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長|AB|=r,故r²=2b²,從而有2b²－a²=1

又∵點P(a,b)到直線x－2y=0的距離d=,

因此，5d²=|a－2b|²=a²+4b²－4ab≥a²+4b²－2(a²+b²)=2b²－a²=1,

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d²=1,從而d取最小值，為此有,

∵r²=2b², ∴r²=2

于是所求圓的方程為：(x－1）²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

解法二：設所求圓P的方程為(x－a)²+(y－b)²=r²(r＞0)

設A(0,y₁),B(0,y₂)是圓與y軸的兩個交點，則y₁、y₂是方程a²+(y－b)²=r²的兩根，

∴y_1，2=b±

由條件①得|AB|=2，而|AB|=|y₁－y₂|,得r²－a²=1

設點C(x₁,0)、D(x₂,0)為圓與x軸的兩個交點，則x₁,x₂是方程(x－a)²+b²=r²的兩個根，

∴x_1，2=a±

由條件②得|CD|=r,又由|CD|=|x₂－x₁|，得2b²=r²,故2b²=a²+1

設圓心P(a,b)到直線x－2y=0的距離為d=

∴a－2b=±d,得a²=(2b±d)²=4b²±4bd+5d²

又∵a²=2b²－1,故有2b²±4bd+5d²+1=0.把上式看作b的二次方程，

∵方程有實根.

∴Δ=8(5d²－1)≥0,得5d²≥1.

∴d_min=,將其代入2b²±4bd+5d²+1=0,

得2b²±4b+2=0,解得b=±1.

從而r²=2b²=2,a=±=±1

于是所求圓的方程為(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

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一、1.解析：將直線方程變為x=3－2y,代入圓的方程x²+y²+x－6y+m=0,

得(3－2y)²+y²+(3－2y)+m=0.

整理得5y²－20y+12+m=0,設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)

則y₁y₂=,y₁+y₂=4.

又∵P、Q在直線x=3－2y上，

∴x₁x₂=(3－2y₁)(3－2y₂)=4y₁y₂－6(y₁+y₂)+9

故y₁y₂+x₁x₂=5y₁y₂－6(y₁+y₂)+9=m－3=0，故m=3.

答案：A

2.解析：由題意，可設橢圓方程為： =1,且a²=50+b²,

即方程為=1.

將直線3x－y－2=0代入，整理成關于x的二次方程.

由x₁+x₂=1可求得b²=25,a²=75.

答案：C

二、3.解析：所求橢圓的焦點為F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=|PF₁|+|PF₂|.

欲使2a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF₁|+|PF₂|最小，利用對稱性可解.?

答案： =1

4.解析：設所求圓的方程為(x－a)²+(y－b)²=r²

則有 

由此可寫所求圓的方程.

答案：x²+y²－2x－12=0或x²+y²－10x－8y+4=0

三、5.解：|MF|_max=a+c,|MF|_min=a－c,則(a+c)(a－c)=a²－c²=b²,

∴b²=4,設橢圓方程為                                                                    ①

設過M₁和M₂的直線方程為y=－x+m                                                               ②

將②代入①得：(4+a²)x²－2a²mx+a²m²－4a²=0                                                  ③

設M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂),M₁M₂的中點為(x₀,y₀),

則x₀= (x₁+x₂)=,y₀=－x₀+m=.

代入y=x,得,

由于a²＞4,∴m=0,∴由③知x₁+x₂=0,x₁x₂=－,

又|M₁M₂|=,

代入x₁+x₂,x₁x₂可解a²=5,故所求橢圓方程為： =1.

6.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，

如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(－10，－4）、(10，－4）

設拋物線方程為x²=－2py,將A點坐標代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,

于是拋物線方程為x²=－25y.

由題意知E點坐標為(2，－4)，E′點橫坐標也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米.

7.解：由e=,可設橢圓方程為=1,

又設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,兩式相減，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.

化簡得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,

代入橢圓方程得3x²－12x+18－2b²=0.

有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,

得，解得b²=8.

故所求橢圓方程為=1.