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2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)十一

難點11  函數(shù)中的綜合問題

函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力.

●難點磁場

(★★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=－4.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)在區(qū)間［－9，9］上，求f(x)的最值.

●案例探究

［例1］設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)證明f(x)是周期函數(shù)；

(3)記a_n=f(n+),求

命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力.

知識依托：認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)找到問題的突破口.

錯解分析：不會利用f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)進行合理變形.

技巧與方法：由f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)變形為是解決問題的關(guān)鍵.

(1)    解：因為對x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),所以f(x)=≥0,

x∈［0,1］

又因為f(1)=f(+)=f()?f()=［f()］²

f()=f(+)=f()?f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,f()=a

(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個

周期.

(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f()=f(n?)=f(+(n－1) )=f()?f((n－1)?)

=……

=f()?f()?……?f()

=［f()］ⁿ=a

∴f()=a.

又∵f(x)的一個周期是2

∴f(2n+)=f(),因此a_n=a

∴

［例2］甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識，還考查學(xué)生綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.

知識依托：運用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

錯解分析：不會將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對參變量的限制條件.

技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價.

解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a?+bv²?=S(+bv)

∴所求函數(shù)及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

∴S(+bv)≥2S                      ①

當且僅當=bv,即v=時，①式中等號成立.若≤c則當v=時，有y_min；

若>c,則當v∈(0,c時，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),當且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，有y_min；

綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應(yīng)為v=,當>c時行駛速度應(yīng)為v=c.

解法二：(1)同解法一.

(2)∵函數(shù)y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當x∈(0,)時，y單調(diào)減小，當x∈(,+∞)時y單調(diào)增加，當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v∈(0,c.

∴當≤c時，則當v=時，y最小，若>c時，則當v=c時，y最小.結(jié)論同上.

●錦囊妙計

在解決函數(shù)綜合問題時，要認真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運用.綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

(1）證明：令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函數(shù)

(2）解：1°,任取實數(shù)x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,這時，x₂－x₁>0,f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)

因為x>0時f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0

∴f(x)在［－9，9］上是減函數(shù)

故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.

∴f(x)在區(qū)間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：分類討論當a>1時和當0＜a＜1時.

答案：C

2.解析：用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè)a=2,b=1,

則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.

g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.

又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.

g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).

即①與③成立.

答案：C

二、3.解析：設(shè)2^x=t>0，則原方程可變?yōu)?i>t²+at+a+1=0                                             ①

方程①有兩個正實根，則

解得：a∈(－1,2－2.

答案：(－1，2－2

三、4.解：(1)當a=0時，函數(shù)f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數(shù)；當a≠0時，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶

函數(shù).

(2)①當x≤a時，函數(shù)f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,則函數(shù)f(x)在(－∞,a上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(－∞,a上的最小值為f(a)=a²+1.

若a>,則函數(shù)f(x)在(－∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤f(a).?

②當x≥a時，函數(shù)f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;當a≤－時，則函數(shù)f(x)在［a,+∞上的最小值為f(－)=－a,且f(－)≤f(a).若a>－,?則函數(shù)f(x)在［a,+∞)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上，當a≤－時，函數(shù)f(x)的最小值是－a,當－＜a≤時，函數(shù)f(x)的最小值是a²+1;當a>時，函數(shù)f(x)的最小值是a+.

5.(1)證明：由 得f(x)的定義域為(－1，1)，易判斷f(x)在(－1，1)內(nèi)是減函數(shù).

(2)證明：∵f(0)=,∴f^-－1()=0,即x=是方程f^-－1(x)=0的一個解.若方程f^-－1(x)=0還有另一個解x₀≠,則f^-－1(x₀)=0,由反函數(shù)的定義知f(0)=x₀≠,與已知矛盾，故方程f^-－1(x)=0有惟一解.

(3)解：f［x(x－)］＜,即f［x(x－)］＜f(0).

6.證明：對f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函數(shù).設(shè)－1＜x₁＜x₂＜0,則f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(),∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0.∴＜0,于是由②知f()?>0,從而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),故f(x)在x∈(－1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，知f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數(shù)，且f(x)＜0.

7.解：(1)因污水處理水池的長為x米，則寬為米，總造價y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由題設(shè)條件

  解得12.5≤x≤16,即函數(shù)定義域為［12.5，16］.

(2)先研究函數(shù)y=f(x)=800(x+)+16000在［12.5,16］上的單調(diào)性，對于任意的x₁,x₂∈［12.5,16］,不妨設(shè)x₁＜x₂,則f(x₂)－f(x₁)=800［(x₂－x₁)+324()］=800(x₂－x₁)(1－),∵12.5≤x₁≤x₂≤16.∴0＜x₁x₂＜16²＜324,∴>1,即1－＜0.又x₂－x₁>0,∴f(x₂)－f(x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁),故函數(shù)y=f(x)在［12.5,16］上是減函數(shù).∴當x=16時，y取得最小值，此時，y_min=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）?

綜上，當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低為45000元.

8.解：∵f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函數(shù).

又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,從而，當f(x)＜0時，有x＜－1或0＜x＜1,

則集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1,

∴M∩N={m|g(θ)＜－1.由g(θ)＜－1,得cos²θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x²>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y₁=x²,x∈［0,1］及②y₂=m(m－2)+2,顯然①為拋物線一段，②是過(2，2)點的直線系，在同一坐標系內(nèi)由x∈［0,1］得y₁>y₂.∴m>4－2,故M∩N={m|m>4－2}.