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定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足①對任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②當x∈(－1,0)時，有f(x)>0.
求證:.

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    定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足：對任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)= ．

    (1)求證：函數f(x)是奇函數；

    (2)如果當x∈(－1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(－1，1)上是單調遞減函數；

    (3)在(2)的條件下解不等式：+＞0．

 

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(1）證明：令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函數

(2）解：1°,任取實數x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,這時，x₂－x₁>0,f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)

因為x>0時f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0

∴f(x)在［－9，9］上是減函數

故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.

∴f(x)在區間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.

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一、1.解析：分類討論當a>1時和當0＜a＜1時.

答案：C

2.解析：用特值法，根據題意，可設f(x)=x,g(x)=|x|,又設a=2,b=1,

則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.

g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.

又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.

g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).

即①與③成立.

答案：C

二、3.解析：設2^x=t>0，則原方程可變為t²+at+a+1=0                                             ①

方程①有兩個正實根，則

解得：a∈(－1,2－2.

答案：(－1，2－2

三、4.解：(1)當a=0時，函數f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數；當a≠0時，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此時函數f(x)既不是奇函數也不是偶

函數.

(2)①當x≤a時，函數f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,則函數f(x)在(－∞,a上單調遞減，從而，函數f(x)在(－∞,a上的最小值為f(a)=a²+1.

若a>,則函數f(x)在(－∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤f(a).?

②當x≥a時，函數f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;當a≤－時，則函數f(x)在［a,+∞上的最小值為f(－)=－a,且f(－)≤f(a).若a>－,?則函數f(x)在［a,+∞)上單調遞增，從而，函數f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上，當a≤－時，函數f(x)的最小值是－a,當－＜a≤時，函數f(x)的最小值是a²+1;當a>時，函數f(x)的最小值是a+.

5.(1)證明：由 得f(x)的定義域為(－1，1)，易判斷f(x)在(－1，1)內是減函數.

(2)證明：∵f(0)=,∴f^-－1()=0,即x=是方程f^-－1(x)=0的一個解.若方程f^-－1(x)=0還有另一個解x₀≠,則f^-－1(x₀)=0,由反函數的定義知f(0)=x₀≠,與已知矛盾，故方程f^-－1(x)=0有惟一解.

(3)解：f［x(x－)］＜,即f［x(x－)］＜f(0).

6.證明：對f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函數.設－1＜x₁＜x₂＜0,則f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(),∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0.∴＜0,于是由②知f()?>0,從而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),故f(x)在x∈(－1,0)上是單調遞減函數.根據奇函數的圖象關于原點對稱，知f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數，且f(x)＜0.

7.解：(1)因污水處理水池的長為x米，則寬為米，總造價y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由題設條件

  解得12.5≤x≤16,即函數定義域為［12.5，16］.

(2)先研究函數y=f(x)=800(x+)+16000在［12.5,16］上的單調性，對于任意的x₁,x₂∈［12.5,16］,不妨設x₁＜x₂,則f(x₂)－f(x₁)=800［(x₂－x₁)+324()］=800(x₂－x₁)(1－),∵12.5≤x₁≤x₂≤16.∴0＜x₁x₂＜16²＜324,∴>1,即1－＜0.又x₂－x₁>0,∴f(x₂)－f(x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁),故函數y=f(x)在［12.5,16］上是減函數.∴當x=16時，y取得最小值，此時，y_min=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）?

綜上，當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低為45000元.

8.解：∵f(x)是奇函數，且在(0,+∞)上是增函數，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函數.

又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,從而，當f(x)＜0時，有x＜－1或0＜x＜1,

則集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1,

∴M∩N={m|g(θ)＜－1.由g(θ)＜－1,得cos²θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x²>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y₁=x²,x∈［0,1］及②y₂=m(m－2)+2,顯然①為拋物線一段，②是過(2，2)點的直線系，在同一坐標系內由x∈［0,1］得y₁>y₂.∴m>4－2,故M∩N={m|m>4－2}.