安徽省示范高中皖北協作區2009年高三聯考
數學試題（理）
本試卷分第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分。開始時間120分鐘。
參考公式：球的表面積公式：
（
表示球的半徑）
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。把答案填在答題卡的相應位置。
1．復數
的模的值為（ ）
A．
B．
D．
2．設集合
則
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是平面
外的兩條直線，且
則
是
的（
）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．若方程
上有實數解，則實數
的取值范圍是 （
）
A．[4，5] B．[3，5] C．[3，4] D．[4，6]
5．已知函數
則 
（ ）
A．4 B．
6．已知橢圓
的左、右焦點分別為
。過
作傾斜角為30°的直線與橢圓的一個交點
，且
軸，則此橢圓的離心率
為 （
）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙兩名同學在五次考試中數學成績統計用莖葉圖表示如右圖示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲的平均成績比乙的平均成績高
B．甲的平均成績比乙的平均成績低
C．甲成績的方差比乙成績的方差大
D．甲成績的方差比乙成績的方差小
8．已知奇函數
在區間
上的解析式為
，則切點橫坐標為1的切線方程是（ ）
A．
B．
B．
D．
9．定義一種運算
，將函數
的圖象向左平移
個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若在
中，
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知二棱錐的二個側面兩兩垂直，二條側棱長分別為4，4，7，若此二棱錐的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積是（
）
A．
B．
C．
D．
12．用三種不同的顏色填涂如右圖3×3方格中的9個區域，要求每行、
每列的三個區域都不同顏色，則不用的填涂方法種數共有（
）
A．48 B．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的響應位置。
13．已知圓的極坐標方程為
則該圓的圓心到直線
的距離是____________；
14．已知實數
滿足條件
，若使
取得最大值的有序數對
（）有無數個，則
)__________________;
15．已知函數
，若關于
的
不等式
橫成立，則實數的取值范圍是_____；
6．如右圖所示的數陣中，第20行第2個數字是________；
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）已知的面積是
，角
，
，
所對的百年分別是
且
。
（1）求角C： （Ⅱ）若的外接圓半徑是2時，求
的值
18．（本小題滿分12分）
如圖，四棱臺
的直視圖和三視圖，低面
是邊長為2的菱形，
，
，
分別為
、
的中點。
（I）由三視圖判斷平面
與平面的位置關系（只須作出判斷）；
（Ⅱ）求證：
平面
；（Ⅲ）球二面角
的正切值。
19．（本小題滿分12分）
“5.12“汶川地震后，為支持災區教育，某市有甲、乙、丙等六名教師志愿者，被隨即地分大批災區
五個不同的鄉鎮支教，且每個鄉鎮至少有一名教師。
（I）求甲、乙兩位教師同時分到鄉鎮的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩位教師不在同一個鄉鎮的概率；
（Ⅲ）設隨即變量
為這六名教師中分到鄉鎮的人數；求的分布列。
20（本小題滿分12分）
已知中心在原點的橢圓的一個焦點為
，長軸端點到較近焦點的距離為1，
為橢圓上不同的兩點。
（I）求橢圓的方程：
（Ⅱ）若
，在軸上是否存在一點
，使
，若存在，求出點坐標：若不存在說明理由。
21．（本小題滿分12分）
已知數列
滿足右圖所示的流程圖
（I）寫出數列的一個遞推關系式：
（Ⅱ）證明：
是等比數列：并求出的通項公式；
（Ⅲ）求數列
的前
項和
。
22．（本小題滿分14分）
設函數
（I）來
的單調區間；
（Ⅱ）當
時，若方程
在
上有兩個實數解，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當
時，
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