江蘇省南京市2009屆高三第一次調研考試
數學試題2009.3
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）
1、計算：
= 。
2、若復數
是虛數單位）為純虛數，則
= 。
3、某人5 次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為
，
。已知這組數據的平均數為10，則其方差為 。
4、已知等比數列
的各項均為正數，若
，前三項的和為21 ，
則
。
5、設
是兩個集合，定義集合
，若
，
，則
。
6、根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果
為
。
7、已知扇形的周長為
，則該扇形面積的最大值為 
。
8、過橢圓
的左頂點
作斜率為
的直線，與橢圓的另一個交點為
，與
軸的交點為
。若
，則該橢圓的離心率為
。
9、若方程
在區間
上有解，則所有滿足條件的
的值的和為
。
10、如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔、，燈塔位于燈塔的正南方向，海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔的北偏西
方向，與相距
海里的
處；乙船位于燈塔B的北偏西
方向，與相距5海里的
處，則兩艘船之間的距離為 海里。
11、如圖，在正三棱柱
中，D為棱
的中點，若截面
是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為
。
12、設
：函數
在區間
上單調遞增；
，如果“┐p”是正真命題，那么實數
的取值范圍是
。
13、如圖，在正方形
中，已知
，
為
的中點，若
為正方形內（含邊界）任意一點，則
的最大值是 。
14、已知函數
，
，
是其圖象上不同的兩點.若直線
的斜率總滿足
，則實數的值是
。
二、解答題
15、（本題滿分14分）
某學校籃球隊，羽毛球隊、乒乓球隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如圖所示，現從中隨機抽取一名隊員，求：
(1) 該隊員只屬于一支球隊的概率；
（2）該隊員最多屬于兩支球隊的概率
16、（本題滿分14分）如圖，在四棱錐
中，底面中為菱形，
，
為
的中點。
（1） 若
，求證：平面
平面
；
（2） 
點在線段
上，
，試確定實數
的值，使得
平面
。
17、（本題滿分14分）已知函數
。
（1） 求函數
在
上的值域；
（2） 在
中，若
，求
的值。
18、（本題滿分16分）在平面直角坐標系
中，已知拋物線
橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5。
（1） 求拋物線的標準方程；
（2）
設點是拋物線上的動點，若以為圓心的圓在軸上截得的弦長為
，求證：
圓過定點。
19、（本題滿分16分）設
，函數
.
(1) 當
時,求曲線
在
處的切線方程;
(2) 當
時,求函數的最小值.
20、（本題滿分16分）在數列中，已知
，且，
（1） 若數列為等差數列，求的值。
（2） 求數列的前
項和
（3） 當
時，求證：
南京市2009屆高三第一次調研試數學附加題
21、選做題(在
四小題中只能選做2題，每小題10分,共計2分)
.選修
：幾何證明選講
如圖，已知四邊形內接于⊙O,
,
切⊙O于點
.求證：
.
B.選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣
，
。在平面直角坐標系中，設直線
在矩陣
對應的變換作用下得到的曲線
，求曲線的方程。
C.選修4-4;坐標系與參數方程
已知直線和參數方程為
,
是橢圓
上任意一點，求點到直線的距離的最大值。
D．選修4-5：不等式選講
已知
為正數，求證：
.
必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。
22．已知圓
：
，定點，動圓過點
，且與圓相內切。
（1）求點的軌跡的方程；
（2）若過原點的直線與（1）中的曲線交于兩點，且
的面積為
，求直線的方程。
23已知：
（1）當
時，求
的值。
（2）設
，
。試用數學歸納法證明：
當時，
一、填空
1、
；2、
；3、；4、
；5、
；6、5；7、
；8、
；9、
；
10、
；11、
；12、
；13、
；14、
。
二、解答題
1`5、（本題滿分14分）
解：（1）（設“該隊員只屬于一支球隊的”為事件A，則事件A的概率
（2）設“該隊員最多屬于兩支球隊的”為事件B，則事件B的概率為
答：（略）
16、（本題滿分14分）
解：（1）連
，四邊形
菱形 
，
為
的中點， 
又
，
（2）當
時，使得
，連
交
于
，交于
，則為 的中點，又為
邊上中線，為正三角形
的中心，令菱形的邊長為
，則
，
。
即：
。
17、解：
（1）
，
在區間
上的值域為
（2）
，
，
18、解：（1）依題意，得：
，
。
拋物線標準方程為：
（2）設圓心
的坐標為
，半徑為
。
圓心在
軸上截得的弦長為
圓心的方程為：
從而變為：
①
對于任意的
，方程①均成立。
故有：
解得：
所以，圓過定點（2，0）。
19、解（1）當
時，
令
得 
所以切點為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線
在處的切線方程為：
。
（2）①當
時，
，
，
恒成立。 
在
上增函數。
故當
時，
② 當
時，
，
（）
（i）當
即
時，
在
時為正數，所以在區間
上為增函數。故當時，
，且此時
(ii)當
，即
時，在
時為負數，在間
時為正數。所以在區間
上為減函數，在
上為增函數
故當
時，
，且此時
(iii)當
；即 
時，在時為負數，所以在區間[1,e]上為減函數，故當時，。
綜上所述，當時，在時和
時的最小值都是
。
所以此時的最小值為
；當時，在時的最小值為
，而，
所以此時的最小值為。
當時，在時最小值為，在時的最小值為
，
而，所以此時的最小值為
所以函數的最小值為
20、解：（1）設數列
的公差為
，則
，
，
依題得：
，對
恒成立。
即：
，對恒成立。
所以
，即：
或
，故
的值為2。
（2）
所以，
① 當
為奇數，且
時，
。
相乘得
所以 
當
也符合。
② 當為偶數，且
時，
， 
相乘得
所以 
，所以 
。因此 
，當
時也符合。
所以數列的通項公式為
。
當為偶數時，
當為奇數時，
為偶數，
所以
南京市2009屆高三第一次調研試
數學附加題參考答案
21、選做題
.選修
：幾何證明選講
證明：因為
切⊙O于點
，所以
因為
，所以 
又A、B、C、D四點共圓，所以 
所以 
又
，所以
∽
所以
即
所以 
即：
B.選修4-2：矩陣與變換
解:由題設得
,設
是直線
上任意一點,
點在矩陣
對應的變換作用下變為
,
則有
, 即 
,所以
因為點在直線上,從而
,即：
所以曲線
的方程為 
C.選修4-4;坐標系與參數方程
解： 直線
的參數方程為
為參數）故直線的普通方程為
因為為橢圓
上任意點，故可設
其中
。
因此點
到直線的距離是
所以當
，
時，取得最大值
。
D．選修4-5：不等式選講
證明：
，所以 
必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。
22、解：（1）設圓
的半徑為。
因為圓與圓
，所以
所以
，即：
所以點的軌跡是以
為焦點的橢圓且設橢圓方程為
其中 
，所以
所以曲線的方程
（2）因為直線過橢圓的中心，由橢圓的對稱性可知，
因為
，所以
。
不妨設點
在
軸上方，則
。
所以
，
，即：點的坐標為
或
所以直線的斜率為
，故所求直線方和程為
23、（1）當
時，
原等式變為
令
得 
（2）因為
所以
①當時。左邊=
，右邊
左邊=右邊，等式成立。
②假設當
時，等式成立，即
那么，當
時，
左邊
右邊。
故當時，等式成立。
綜上①②，當
時，
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