山東省文登三中2009屆高三第三次月考
數學（理科）試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1．若等比數列
的前五項的積的平方為1024，且首項
，則
等于
A．
B．
C．2 D．
2．已知條件
：
，條件
：
，則條件是條件的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．在正四面體
中，二面角
的余弦值為
A．
B．
C．
D．
4．若
展開式的系數之和為729，則展開式的常數項為第（ ）項
A．2 B．
5．在
中，
，則角
=
A．
B．
C．或 D．或
6．從6雙規格各不相同的鞋子中任意取出6只，其中至少有2雙鞋子的概率是
A．
B．
C．
D．
7．若
是
與
的等比中項，則
的最小值為
A．
B．
C．
D．
8．設
滿足
，則
=
A．
B． C． D．1
9．定義域為
的函數
滿足
，且
為偶函數，則
A．是周期為4的周期函數 B．是周期為8的周期函數
C．是周期為12的周期函數 D．不是周期函數
10．在四邊形中，
，
，則
的值為
A．0 B．
C．4 D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．復數
的虛部為__________。
12．已知
滿足
，則函數
的最小值是__________。
13．若函數
的值域為
，則實數的取值范圍是__________。
14．在數列中，若
，則該數列的通項
=__________。
15．（參考數據：
，
，
，）設隨機變量
服從正態分布
，則概率
等于______________。
16．已知橢圓
的左右焦點分別為
，以
為焦點，橢圓
的左準線
為準線的拋物線與橢圓相交，點
是其中一個交點，并且
，則
等于______________。
三、解答題（本大題共6小題，共76分）
17．（本小題滿分13分，其中（1）小問6分，（2）小問7分）
（1）已知
，求
的值；
（2）已知
，求函數
的值域。
18．（本小題滿分13分，其中（1）小問5分，（2）小問8分）
甲、乙兩袋中裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有3個紅球，4個白球；乙袋裝有3個紅球，3個白球。現從甲、乙兩袋中各任取2個球，記取得的紅球個數為。
（1）求隨機變量的分布列；
（2）求隨機變量的期望
和方差
。
19．（本小題滿分13分，其中（1）小問4分，（2）小問4分，⑶小問5分）
在
中，
，
分別為
邊上的點，
。沿
將
折起（記為
），使二面角
為直二面角。
（1）當
點在何處時，
的長度最小，并求出最小值；
20．（本小題滿分13分，其中（1）小問4分，（2）小問4分，）（3）小問5分）
已知函數
的導函數為
，
。
（1）當
時，求函數的單調區間；
（2）若對滿足
的一切的值，都有
，求實數
的取值范圍；
（3）若
對一切
恒成立，求實數的取值范圍。
21．（本小題滿分12分，其中（1）小問6分，（2）小問6分）
過點
作傾斜角為
的直線，交拋物線：
于
兩點，且
成等比數列。
（1）求的方程；
（2）過點
的直線
與曲線交于
兩點。設
，
與
的夾角為
，求證：
。
22．（本小題滿分12分，其中（1）小問3分，（2）小問3分，（3）小問6分）
已知數列中，
。
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）求的通項公式；
（3）設的前
項和為
，求證：
。
山東省文登三中2009屆高三第三次月考
一、DDBCD CABCA
二、11．1；
12．
； 13．
14．
； 15．
；
16．
三．解答題（本大題共6小題，共76分）
17．解：（1）法一：由題可得
；
法二：由題
，
故
，從而
；
法三：由題
，解得
，
故，從而。
（2）
，令
，
則
，
在
單調遞減，
故
，
從而
的值域為
。
18．解：（1）
的可能取值為0,1,2,3,4，
，
，
，
，
。
因此隨機變量的分布列為下表所示；
0
1
2
3
4
（2）由⑴得：
，
19．法一：（1）連接
，設
，則
。
因為
，所以
，故
，從而
，
故
。
又因為
，
所以
，當且僅當
取等號。
此時
為
邊的中點，
為
邊的中點。
故當為邊的中點時，
的長度最小，其值為
（2）連接
，因為此時
分別為
的中點，
故
，所以
均為直角三角形，
從而
，所以
即為直線
與平面
所成的角。
因為
，所以
即為所求；
（3）因，又
，所以
。
又
，故三棱錐
的表面積為
。
因為三棱錐的體積
，
所以
。
法二：（1）因
，故
。
設
，則
。
所以
，
當且僅當
取等號。此時為邊的中點。
故當為的中點時，的長度最小，其值為；
（2）因，又，所以。
記點到平面的距離為
，
因，故
，解得
。
因
，故
；
（3）同“法一”。
法三：（1）如圖，以
為原點建立空間直角坐標系，設，則
，
所以，當且僅當取等號。
此時為邊的中點，為邊的中點。
故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；
（2）設
為面的法向量，因
，
故
。取
，得
。
又因
，故
。
因此
，從而
，
所以；
（3）由題意可設
為三棱錐的內切球球心，
則
，可得
。
與（2）同法可得平面
的一個法向量
，
又
，故
，
解得
。顯然
，故
。
20．解：（1）當
時，
。令
得
，
故當
時
，單調遞增；
當
時
，單調遞減。
所以函數的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為
；
（2）法一：因
，故
。
令
，
要使
對滿足
的一切
成立，則
，
解得
；
法二：，故。
由
可解得
。
因為
在
單調遞減，因此
在單調遞增，故
。設
，
則
，因為
，
所以
，從而
在單調遞減，
故
。因此
，即。
（3）因為
，所以
即
對一切
恒成立。
，令
，
則
。因為，所以
，
故
在
單調遞增，有
。
因此
，從而
。
所以
。
21．解：（1）設
，則由題
，
由
得
，故
。
又根據
可得
，
即
，代入可得
，
解得
（舍負）。故的方程為
；
（2）法一：設
，代入得
，
故
，
從而
因此
。
法二：顯然點是拋物線的焦點，點
是其準線
上一點。
設為的中點，過
分別作的垂線，垂足分別為
，
則
。
因此以為直徑的圓與準線相切（于點
）。
若與重合，則
。否則點在
外，因此
。
綜上知。
22．證明：（1）因
，故
。
顯然
，因此數列
是以
為首項，以2為公比的等比數列；
（2）由⑴知
，解得
；
（3）因為
所以
。
又
（當且僅當
時取等號），
故
。
綜上可得
。（亦可用數學歸納法）
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（2）當
與平面
所成的角
的內切球的半徑
。