題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分．）
設
的導數
滿足
，其中常數
．
（Ⅰ）求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ） 設
，求函數
的極值．
（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.）
甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設在每局中參賽者勝負的概率均為
，且各局勝負相互獨立.求：（Ⅰ）打滿3局比賽還未停止的概率；（Ⅱ）比賽停止時已打局數
的分別列與期望E。
（本小題滿分13分．其中（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分）
QQ先生的魚缸中有7條魚，其中6條青魚和1條黑魚，計劃從當天開始，每天中午從該魚缸中抓出1條魚（每條魚被抓到的概率相同）并吃掉．若黑魚未被抓出，則它每晚要吃掉1條青魚（規定青魚不吃魚）．
（Ⅰ）求這7條魚中至少有6條被QQ先生吃掉的概率；
（Ⅱ）以
表示這7條魚中被QQ先生吃掉的魚的條數，求的分布列及其數學期望
．
（本小題滿分13分．其中（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分）
已知數列
滿足：
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列
的前
項和
（本小題滿分13分．其中（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分）
已知
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值
一、DDBCD CABCA
二、11．1；
12．
； 13．
14．
； 15．
；
16．
三．解答題（本大題共6小題，共76分）
17．解：（1）法一：由題可得
；
法二：由題
，
故
，從而
；
法三：由題
，解得
，
故，從而。
（2）
，令
，
則
，
在
單調遞減，
故
，
從而
的值域為
。
18．解：（1）
的可能取值為0,1,2,3,4，
，
，
，
，
。
因此隨機變量的分布列為下表所示；
0
1
2
3
4
（2）由⑴得：
，
19．法一：（1）連接
，設
，則
。
因為
，所以
，故
，從而
，
故
。
又因為
，
所以
，當且僅當
取等號。
此時
為
邊的中點，
為
邊的中點。
故當為邊的中點時，
的長度最小，其值為
（2）連接
，因為此時
分別為
的中點，
故
，所以
均為直角三角形，
從而
，所以
即為直線
與平面
所成的角。
因為
，所以
即為所求；
（3）因，又
，所以
。
又
，故三棱錐
的表面積為
。
因為三棱錐的體積
，
所以
。
法二：（1）因
，故
。
設
，則
。
所以
，
當且僅當
取等號。此時為邊的中點。
故當為的中點時，的長度最小，其值為；
（2）因，又，所以。
記點到平面的距離為
，
因，故
，解得
。
因
，故
；
（3）同“法一”。
法三：（1）如圖，以
為原點建立空間直角坐標系，設，則
，
所以，當且僅當取等號。
此時為邊的中點，為邊的中點。
故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；
（2）設
為面的法向量，因
，
故
。取
，得
。
又因
，故
。
因此
，從而
，
所以；
（3）由題意可設
為三棱錐的內切球球心，
則
，可得
。
與（2）同法可得平面
的一個法向量
，
又
，故
，
解得
。顯然
，故
。
20．解：（1）當
時，
。令
得
，
故當
時
，單調遞增；
當
時
，單調遞減。
所以函數的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為
；
（2）法一：因
，故
。
令
，
要使
對滿足
的一切
成立，則
，
解得
；
法二：，故。
由
可解得
。
因為
在
單調遞減，因此
在單調遞增，故
。設
，
則
，因為
，
所以
，從而
在單調遞減，
故
。因此
，即。
（3）因為
，所以
即
對一切
恒成立。
，令
，
則
。因為，所以
，
故
在
單調遞增，有
。
因此
，從而
。
所以
。
21．解：（1）設
，則由題
，
由
得
，故
。
又根據
可得
，
即
，代入可得
，
解得
（舍負）。故的方程為
；
（2）法一：設
，代入得
，
故
，
從而
因此
。
法二：顯然點是拋物線的焦點，點
是其準線
上一點。
設為的中點，過
分別作的垂線，垂足分別為
，
則
。
因此以為直徑的圓與準線相切（于點
）。
若與重合，則
。否則點在
外，因此
。
綜上知。
22．證明：（1）因
，故
。
顯然
，因此數列
是以
為首項，以2為公比的等比數列；
（2）由⑴知
，解得
；
（3）因為
所以
。
又
（當且僅當
時取等號），
故
。
綜上可得
。（亦可用數學歸納法）
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