清華附中2006-2007高三第一次月考試題
數學 （理科）
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1．如果集合P = {x | | x | > 2}，集合T = {x | 3x > 1}，那么，集合P∩T等于
A．{x | x > 0} B．{x | x > 2}
C．{x | x < - 2或x > 0} D．{x | x < - 2或x > 2}
2．已知函數
A．- 1 B．5 C．- 8 D．3
3．映射f：A→B，如果滿足集合B中的任意一個元素在A中都有原象，則稱為“滿射”．已知集合A中有4個元素，集合B中有3個元素，那么從A到B的不同滿射的個數為
A．24 B．6 C． 36 D．72
4．命題p：若
的充分而不必要條件．命題q：函數
的定義域是
則
A．“p或q”為假 B．“p且q”為真 C．p真q假 D．p假q真
5．已知R為實數集，Q為有理數集.設函數
，則
A．函數
的圖象是兩條平行直線 B．
C．函數
恒等于0 D．函數的導函數恒等于0
6．設函數
給出下列四個命題：
①
時，
是奇函數
②
時，方程
只有一個實根
③的圖象關于
對稱
④方程至多兩個實根．
其中正確的命題是
A．①、④ B．①、③ C．①、②、③ D．①、②、④
7．將一張畫了直角坐標系且兩軸的長度單位相同的紙折疊一次，使點（2，0）與點（- 2，4）重合，若點（7，3）與點（m ,n）重合，則m+n的值為
A．4 B．- 4 C．10 D．- 10
8．設
、
，集合
，
，若
為單元素集，則
值的個數是
A．
B．
C．
D．
二、填空題（每小題5分，共30分）
9．“
”是“
且
”的
條件．
10．設函數
,若
，
的反函數
，則
的值為
．
11．已知函數
連續，則a的值為
．
12．如果曲線
與直線y = x相切于點P，則點P的坐標是
，a =
．
13．如果函數f（x）的定義域為R，對于m，n Î R，恒有f（m + n）= f（m）+ f（n） - 6，且f（- 1）是不大于5的正整數，當x > - 1時，f（x）> 0．那么具有這種性質的函數f（x） = （注：填上你認為正確的一個函數即可，不必考慮所有可能的情形）
14．已知
，拋物線
與x軸有兩個不同交點，且兩交點到原點的距離均小于1，則
的最小值為
．
三、解答題（共80分）
15．（12分）
已知函數
．若函數的定義域和值域都是[1，a]（a>1），求a的值．
16．（13分）
某城市在發展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關注，據有關統計數據顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y（分鐘）與車輛進入該路段的時刻t之間關系可近似地用如下函數給出：
．求從上午6點到中午12點，通過該路段用時最多的時刻．
17．（13分）
已知命題p：方程a2x2 + ax - 2 =
0在[- 1，1]上有解；命題q：有且只有一個實數x滿足不等式x2 + 2ax +
18．（14分）
設P（x + a，y1），Q（x，y2），R（2 + a，y3）是函數f（x） = 2x + a 
的函數圖象上三個不同的點，且滿足y1 + y3 = 2y2的實數x有且只有一個，試求實數a的取值范圍．
19．（14分）
已知函數
．
（1）若函數f（x）在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；
（2） 若函數f（x）的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且
，已知a1 = 4，求證：an ³ 2n + 2；
（3）在（2）的條件下，試比較
與
的大小，并說明你的理由．
20．（14分）
已知函數f（x）的定義域為{x|
x ≠ kπ，k ∈ Z}，且對于定義域內的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a為正常數），當0 < x <
（1）判斷f（x）奇偶性；
（2）證明f（x）為周期函數；
（3）求f （x）在[
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1－8．BACDD CCD
二、填空題（每小題5分，共30分）
9． 必要非充分
10． 4
11． 3
12．（e，e） 
13． x + 6 說明：f（x） = ax + 6 （a = 1，2，3，4，5）均滿足條件．
14． 10 ．
三、解答題（共80分）
15．（12分）
．
16．（13分）
（1）當6≤t<9時.
（2分）
（3分）
（5分）
（分鐘）（6分）
（2）
∴
（分鐘）（8分）
（3）
∴
（分鐘）
綜上所述，上午8時，通過該路段用時最多，為18.75分鐘。（13分）
17．（13分）
，∴
（4分）
∴
（6分）
“有且只有一個實數滿足
”，即拋物線
與x軸有且只有一個交點，
∴
，∴
（10分）
∴
∴
（13分）
18．（14分）
19．（14分）
（1）
，∴
．
要使函數f（x）在定義域
內為單調函數，則在內
恒大于0或恒小于0，
當
在內恒成立；
當
要使
恒成立，則
，解得
，
當
要使
恒成立，則
，解得
，
所以
的取值范圍為或或
．
根據題意得：
，∴
于是
，
用數學歸納法證明如下：
當
，不等式成立；
假設當
時，不等式
成立，即
也成立，
當
時，
，
所以當，不等式也成立，
綜上得對所有
時5，都有
．
（3） 由（2）得
，
于是
，
所以
，
累乘得：
，
所以
．
20．（14分）
（1）∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關于原點對稱，
又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），
對于定義域內的每個x值都成立
∴ f（x）為奇函數（4分）
（2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為
（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，
f（3a）=
f（
先證明f（x）在[
設
∴ f（x - 2a）= = - > 0，
∴ f（x）< 0（10分）
設2a < x1
< x2 <
則0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0 f（x2）< 0 f（x2 - x1）> 0，
∴ f（x1）- f（x2）= > 0，
∴ f（x1）> f（x2），
∴ f（x）在[
∴ f（x）在[
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