已知函數．若函數的定義域和值域都是[1，a]（a＞1），求a的值．

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一、選擇題（每小題5分，共40分）

1－8．BACDD    CCD

二、填空題（每小題5分，共30分）

9． 必要非充分

10．  4 

11． 3

12．（e，e）          

13． x + 6     說明：f（x） = ax + 6 （a = 1，2，3，4，5）均滿足條件．

14．   10  ．

三、解答題（共80分）

15．（12分）

．

16．（13分）

（1）當6≤t<9時.（2分）

    （3分）

    （5分）

    （分鐘）（6分）

（2）

    ∴（分鐘）（8分）

（3）

∴（分鐘）

綜上所述，上午8時，通過該路段用時最多，為18.75分鐘。（13分）

17．（13分）

，∴（4分）

∴（6分）

“有且只有一個實數滿足”，即拋物線與x軸有且只有一個交點，

∴，∴（10分）

∴

∴（13分）

18．（14分）

19．（14分）

（1），∴．

要使函數f（x）在定義域內為單調函數，則在內恒大于0或恒小于0，

當在內恒成立；

當要使恒成立，則，解得，

當要使恒成立，則，解得，

所以的取值范圍為或或．

根據題意得：，∴

于是，

用數學歸納法證明如下：

當，不等式成立；

假設當時，不等式成立，即也成立，

當時，，

所以當，不等式也成立，

綜上得對所有時5，都有．

（3） 由（2）得，

于是，

所以，

累乘得：，

所以．

20．（14分）

（1）∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關于原點對稱，

又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），

對于定義域內的每個x值都成立

∴ f（x）為奇函數（4分）

（2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為4a．（8分）

（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，

f（3a）= f（2a + a）= f [2a -（- a）]= = = - 1．

先證明f（x）在[2a，3a]上單調遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時，f（x） < 0，

設2a < x < 3a，則0 < x - 2a < a，

∴ f（x - 2a）= = - > 0，

∴ f（x）< 0（10分）

設2a < x₁ < x₂ < 3a，

則0 < x₂ - x₁ < a，∴ f（x₁）< 0   f（x₂）< 0  f（x₂ - x₁）> 0，

∴ f（x₁）- f（x₂）= > 0，

∴ f（x₁）> f（x₂），

∴ f（x）在[2a，3a]上單調遞減（12分）

∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a = 0，最小值為f（3a）= - 1（14分）