湖南省長沙一中2008-2009學年高三第八次月考
數 學(文科)
本試卷共3大題21小題，全卷總分150分，考試時間120分鐘．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．設集合
，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在抽查某產品尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中的一組
已知該組上的直方圖的高為h，則該組的頻率為
A．
B．
C．
D．
3．函數
的反函數為（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若－1＜
＜
＜1，則下列不等式中恒成立的是（
）
A．－1＜－＜1 B．－2＜－＜－1
C．－2＜－＜0 D．－1＜－＜0
5．
的各項系數之和大于8且小于32,則展開式中系數最大的項是（ ）
6. 過點
作直線
，如果它與雙曲線
有且只有一個公共點，則直線的條數是（ ）A．
B．
C．
D．
7. 在△ABC中，若
，
，
，則
的值為 �。ā 。 ．
B．
C．
D． 
8．已知三棱錐D―ABC的三個側面均與底面全等，且AB＝AC＝
，BC＝2，則二面角D-BC-A為 （ ）
A．300 B．
9．如圖，是判斷年份Y是否閏年的流程，則以下年份是閏年的是
A .2009 B .2100
C .1996 D. 2007
10.已知函數
表示過原點的曲線，且在
處的切線斜率均為-1，有以下命題
①f(x)的解析式為：f(x)=x3-4x，x∈[-2，2]；
②f(x)的極值點有且僅有一個；
③f(x)的最大值與最小值之和等于零；
其中正確的命題個數為
A. 0 B.
橫線上）
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.將答案填在題中的
11．已知向量
，且
，則
__________．
12. 有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就坐，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的排法種數是
13．若以連續擲兩次骰子所得的點數x，y為點P的坐標，則點P落在圓
的內部的概率是
.
14.已知
，
若
，則
，滿足條件
的其中一個元素是
.（只寫出一個即可）.
15 . 歐美等國家流行一種“數獨”推理游戲，其游戲規則如下：
4
9
A
3
5
7
2
6
3
5
4
2
8
6
9
1
7
6
9
3
5
4
2
8
9
C
B
5
1
2
8
7
6
4
①在9×9的九宮格子中,分成9個3×3的小九宮格,用1到9這9個數字填滿整個格子;
②每一行與每一列都有1到9的數字，每個小九 宮格里也有1到9的數字，并且一個數字在每行、每列及每個小九宮格里只能出現一次，既不能重復也不能少. 那么A處應填入的數字為 ;B處應填入的數字為 ;C處應填入的數字為________.
三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
已知函數
R．
(Ⅰ)求函數
的最大值；
(Ⅱ)試說明函數的圖像可由函數
R的圖像經過怎樣變換得到？
17．(本小題滿分12分)
2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮。現有8個相同的盒子，每個盒子中放一個福娃，每種福娃的數量如下表：
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數 量
2
2
2
1
1
從中隨機地選取5只．
（Ⅰ）求選取的5只福娃恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率；
（Ⅱ）求選取的5只福娃距離組成完整“奧運會吉祥物”至少差一種福娃的概率．
18.（本小題滿分12分）
如圖，在棱長為1的正方體
中，
是側棱
上的一點，
.
（Ⅰ）試確定
，使直線
與平面
所成角的正切值為
；
（Ⅱ）在線段
上是否存在一個定點
，使得對任意的，
在平面
上的射影垂直于，并證明你的結論.
19．（本小題滿分13分）
已知
， 
（Ⅰ）若
，求函數在區間
的最大值與最小值；
（Ⅱ）若函數在區間
和
上都是增函數，求實數
的取值范圍
20．(本大題滿分13分)
設等差數列
、
的前n項和分別為
和
，
，且
，
；函數
是函數
的反函數，且
(n∈N，n > 1)，c1 = 1．
(1)求常數A的值及函數的解析式；
(2)求數列及
的通項公式；
(3)若
，試求
21．（本小題滿分13分）
如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），點P在BC邊上移動，線段OP的垂直平分線交y軸于點E，點M滿足
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）已知點F（0，
），過點F的直線l交點M的軌跡于Q、R兩點，且
求實數
的取值范圍.
1.C.
集合
，且
，
．
2. D. 由直方圖的意義即可直接求得結果．
3.
B．由
知，函數
是奇函數，排除C，D. 由
選B.
4. A. 顯然函數是偶函數，排除C.函數圖象經過原點O,于是排除B.當
時，函數
，其圖象可由函數
的圖象向左平移一個單位得到，故選A.
5.
C. 六個小組每小組4個隊, 進行單循環賽的比賽場次一共有 6
,16個隊進行淘汰賽比賽場次一共有
確定冠亞軍一共需比賽
場次, 故選C.
6.B.如圖所示,
就是二面角
的平面角,由圖知的取值范圍是
.
7. B. 依題意得，
若
，則
于是
而在橢圓上，故，代入整理得
又
，解得
．
8. C. 因為2009于2007不能被4整除，先排除A.D.又2100不能被400整除，所以2100不是閏年，排除B.從而選C.
9. B.設首項為
公差為
，則
。于是
過點
和
的直線斜率為
則過點和的直線的一個方向向量的坐標應選B.
10.
D. 易知點B在第一或第四象限.設過點A的直線與曲線C相切于點
, 則切線斜率為
,則
, 則切點為
,
要使視線不被C擋住,必須滿足
故選D.
11.6．由
．
12．
.由已知等式易知
．取
取
13.
．點P的坐標有36種，而圓內部點的坐標必須滿足
則點P落在圓
的內部的坐標種數為8種,
所以由等可能事件的概率計算公式得所求概率為
.
14．6.依題意得
顯然函數的最大值為6．
15. 1， 3， 1． A處在9×9的九宮格子中的第2行，第3列，按照1到9的數字在每一行只能出現一次知，A處不能填入3，5，7，9；按照1到9的數字在每一列中只能出現一次知，A處不能填入2，4，6，8，綜合知A處只能填入1．同理分析知C處只能填入１.B處只能填入３．
16(Ⅰ)
當
，
即
時，
有最大值1．此時函數的值最大,
最大值為
．
(Ⅱ) 將
的圖像依次進行如下變換：
1.把函數的圖像向下平移個單位長度，得到函數
的圖像；
2.把得到的函數圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數
的圖像；
3.將函數的圖像向右平移
個單位長度，
就得到函數
的圖像．
或按如下平移變換：
1.把函數的圖像向下平移個單位長度，得到函數的圖像；
2.將函數的圖像向右平移
個單位長度，就得到函數
的圖像．
3.把得到的函數圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖像
17．（I）由等可能事件的概率意義及概率計算公式得P==； 3分
（II）設選取的5只福娃恰好距離組成完整“奧運會吉祥物”差一種福娃記為事件
A,差兩種福娃記為事件B, 依題意可知，所選５只福娃恰好距離組成完整“奧運會
吉祥物”最多差２只，則
７分
１０分
故選取的5只福娃距離組成完整“奧運會吉祥物”至少差一種福娃的概率為
＝
１２分
18.解法一：（１）如圖：
故
.所以
.又
.
故
在
△
，即
.
故當時，直線
.
（Ⅱ）依題意，要在
上找一點
，使得
.可推測的中點
即為所求的點.因為
，所以
又
,故
.
從而
解法二：（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).
所以
又由
的一個法向量.
設
與
所成的角為
，
則
依題意有：
，解得.
故當時，直線.
（２）若在上存在這樣的點，設此點的橫坐標為
，
則
.依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等價于
，即為的中點時，滿足題設的要求
19．（Ⅰ） 
,由
得
，
所以
.由
得
或
-2
-1
2
0
0
0
遞增
遞減
遞增
0
由上表知：在區間
上的最大值為
，最小值為
.
（Ⅱ）的圖像為開口向上且過點
的拋物線，由條件
，
，即
得
20. (1)解：由
知：
，
而
，
，解得
2分
令
，得
，即
R) 4分
(2)解：令
，∴
，即
.
當
時，
，
當n≥2時，
.
綜合得：
6分
由題意：
，變形得：
，
∴數列
是以
為公比，
為首項的等比數列.
，即
． 9分
(3)解：當
(
N*)時，
11分
當
(N*)時，
． 13分
21．（I）依題意，設P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
當t=0時，點M與點E重合，則M=（0，1）；
當t≠0時，線段OP的垂直平分線方程為：
顯然，點（0，1）適合上式 .故點M的軌跡方程為x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
（II）設
得x2+4k－2=0.
設Q（x1,y1）、R（x2,y2），則
,
.消去x2，得
.
解得
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