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山東省臨沂市2009年高三教學質量檢查考試
數學（理工類）
2009.3
本試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分。考試時間120分鐘
注意事項：
1、 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如果需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
2、 非選擇題必須用
第I卷（選擇題 共60分）
一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、 已知全集U=R，集合A=
，B=
，那么集合
A、
B、
C、
D、
2、已知復數z=1+i,則
＝
A.2i B.－2i C. 2 D. －2
3、
＝2,則實數a等于
A、－1 B、 
D、
4、一只螞蟻在邊長為4的正三角形內爬行，某時刻此螞蟻距三角形三個頂點的距離均超過1的概率為
A、
B、
C、
D、
5、已知函數f(x)=
，若x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0，則f(x1)的值為
A．恒為正值 B.等于
6、一個幾何體的三視圖及長度數據如圖，
則該幾何體的表面積與體積分別為
A、
B、
C、
D、
7、某校開設10門課程供學生選修，其中A、B、C三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規定，每位同學選修三門，則每位同學不同的選修方案種數是
A、120 B、
8、在等差數列｛an｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，則
的值為
A、4 B、
9、若實數x，y滿足
，則
的取值范圍是
A、（－1，1） B、（－∞，－1）∪(1,＋∞) C、（－∞，－1） D［1,＋∞)
10、使奇函數f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[
,0]上為減函數的θ值為
A、 
B、
C、 
D、
11、P為雙曲線
的右支上一點，M、N分別是圓(x+5)2+y2=4和(x―5)2+y2=1上的點，則|PM|―|PN|的最大值為
A、
6 B、
12、設f(x)是連續的偶函數，且當x >0時是單調函數，則滿足f(2x)=f(
)的所有x之和為
A、
B、 
C、－8 D、8
第II卷（非選擇題 共90分）
二、 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在答題紙給定的橫線上。
13、若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n (m,n為正整數)的展開式中x的系數為13，則x2的系數是 。
甲
67
70
73
69
71
乙
69
71
71
69
70
丙
68
72
71
70
69
14、甲、乙、丙三位棉農，統計連續五年的單位面積產量（千克/畝）如下表：
則產量較穩定的是棉農 。
15、如圖所示的流程圖，輸出的結果S是 。
16、給出下列四個命題：
①“x(x－3)<0成立”是“|x－1|<2成立”的必要不充分條件;
②拋物線x=ay2(a≠0)的焦點為(0,
);
③函數f(x)=ax2-lnx的圖象在x=1處的切線平行于y=x，則
(
,+∞)是f(x)的單調遞增區間;
④
（a>0），則
＝3。
其中正確命題的序號是 （請將你認為是真命題的序號都填上）。
三、 解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17、（本小題滿分12分）
已知向量m＝（
，1），n＝(
，
)。
（I）
若m•n=1,求
的值;
（II） 記f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a,b,c，且滿足
（
18、（本小題滿分12分）
甲、乙兩人進行射擊訓練，命中率分別為
與P，且乙射擊2次均未命中的概率為
，
（I）求乙射擊的命中率;
（II）若甲射擊2次，乙射擊1次，兩人共命中的次數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望。
19、（本小題滿分12分）
已知單調遞增的等比數列｛an｝滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項。
（I） 求數列｛an｝的通項公式;
（II）
若bn=
,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n•
>50成立的正整數 n的最小值。
20、（本小題滿分12分）
如圖，在直棱柱ABC-A1B
AA1,∠ACB＝90º，G為BB1的中點。
（I） 求證：平面A1CG⊥平面A1GC1;
（II） 求平面ABC與平面A1GC所成銳二面角的平面角的余弦值。
21、（本小題滿分12分）
已知點M在橢圓
（a>b>0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F。
（I） 若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程;
（II） 若點F（1,0），設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2，求a的取值范圍。
22、（本小題滿分14分）
設函數f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（I） 當a=0時，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍;
（II） 當m=2時，若函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數 a的取值范圍;
（III） 是否存在實數m，使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。
一、選擇題：
1―12題DABBA CBCBD DC
二、填空題：
13、31或40
14、乙
15、5
16、③④
三、解答題：
17、解：（I）m•n=
=
=
∵m•n=1
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
=
┉┉┉┉┉┉┉6分
（II）∵（
由正弦定理得
┉┉┉┉┉┉7分
∴
∴
∵
∴
，且
∴
┉┉┉┉┉┉8分
∴
┉┉┉┉┉┉9分
∴
┉┉┉┉┉┉10分
又∵f(x)=m•n＝，
∴f(A)=
┉┉┉┉┉┉11分
故函數f(A)的取值范圍是（1,
）┉┉┉┉┉┉12分
18、解：（I）設“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B
由題意得
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
解得
或
（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
故乙射擊的命中率為
。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(II)由題意和（I）知
。
ξ可能的取值為0，1，2，3，故
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分
.8分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分
┉┉┉10分
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
由此得ξ的數學期望
┉┉┉12分
19、解：(I)設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，
依題意，有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,
∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴
解之得
或
┉┉┉┉┉┉┉┉4分
又{an}單調遞增，∴q=2,a1=2,
∴an=2n ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(II)
, ┉┉┉┉┉┉┉┉7分
∴
①
∴
②
∴①-②得
＝
┉10分
∴
即
又當n≤4時,
, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
當n≥5時,
.
故使成立的正整數n的最小值為5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
20、（I）證明：在直棱柱ABC-A1B
∵ ∠ACB＝90º，∴A
∵CG
平面C1CBB1,∴A
在矩形C1CBB1中，CC1＝BB1＝2BC，G為BB1的中點，
CG＝
BC，CBC，CC1＝2BC
∴∠CGC1＝90，即CG⊥C
而A
∴CG⊥平面A1GC1。
∴平面A1CG⊥平面A1GC1。┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（II）由于CC1平面ABC，
∠ACB＝90º，建立如圖所示的空間坐標系，設AC＝BC＝CC1＝a，則A(a,0,0),B(0,a,0)
A1(a,0,
∴
=(a,0,
=(0,a,a). ┉┉┉┉┉┉┉┉8分
設平面A1CG的法向量n1=(x1,y1,z1),
由
得
令z1=1,n1=(-2,-1,1). ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
又平面ABC的法向量為n2=(0,0,1) ┉┉┉┉┉┉┉┉10分
設平面ABC與平面A1CG所成銳二面角的平面角為θ，
則
┉┉┉┉┉┉┉┉11分
即平面ABC與平面A1CG所成銳二面角的平面角的余弦值為
。┉┉┉12分
21、解：（I）∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓M的半徑r＝2，┉┉┉┉┉┉1分
∴M到y軸的距離d＝
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
又圓M與x軸相切，∴當x＝c時，得y＝
,r＝
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
∴＝2，c＝┉┉┉┉┉┉┉┉4分
∵
解得a＝3或a＝－1（舍去），則b2＝
故所求的橢圓方程為
.┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）設C(x1,y1),D(x2,y2)。
①當直線CD與x軸重合時，有
∵c=1, ∴a2=b2+c2>1,
恒有
┉┉┉┉┉┉┉┉7分
②當直線CD不與x軸重合時，設直線CD的方程為x=my+1，代入
整理得
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
∴
∵恒有，∴
恒為鈍角，
則
=x1x2+y1y2<0恒成立┉┉┉┉┉┉┉┉9分
∴x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=
+1
┉┉┉┉┉┉┉┉10分
又
>0
∴
<0對m
R恒成立，
即
對mR恒成立。
當mR時，
的最小值為0，∴
<0. ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∴
,即
∴a>0,b>0, ∴a<b2,即a<a2-1, ∴a2-a-1>0.
解得
或
，即。
由①②可知，a的取值范圍是(
,+∞) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
22、（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x
即
┉┉┉┉┉┉┉┉1分
記
，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于
.
求得
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
當
時;
;當
時，
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故
在x=e處取得極小值，也是最小值，
即
，故
. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（2）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,則
┉┉┉┉┉┉┉┉6分
當
時，
,當
時，
g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在
上是單調遞增函數。
故
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
（3）存在m=，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性
,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分
若
，則
，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;┉┉┉11分
若
,由
可得2x2-m>0，解得x>
或x<-（舍去）
故時，函數的單調遞增區間為(,+∞)
單調遞減區間為(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區間是(0,)，單調遞增區間是(，+∞)
故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分
即當m=時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。┉14分
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