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（本小題滿分12分）
　　　已知向量m=(sinA,cosA)，n=，m·n＝1，且A為銳角。
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函數的值域。

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一、選擇題：

  1―12題DABBA  CBCBD  DC

二、填空題：

13、31或40

14、乙

15、5

16、③④

三、解答題：

17、解：（I）m•n=

          =

          =

      ∵m•n=1

      ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

               =

      ┉┉┉┉┉┉┉6分

  （II）∵（2a-c）cosB=bcosC

       由正弦定理得┉┉┉┉┉┉7分

     ∴

∴

∵

∴，且

∴┉┉┉┉┉┉8分

∴┉┉┉┉┉┉9分

∴┉┉┉┉┉┉10分

又∵f(x)=m•n＝，

∴f(A)= ┉┉┉┉┉┉11分

故函數f(A)的取值范圍是（1,）┉┉┉┉┉┉12分

18、解：（I）設“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B

  由題意得┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

  解得或（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分

故乙射擊的命中率為。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(II)由題意和（I）知。

   ξ可能的取值為0，1，2，3，故

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分

.8分

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分

┉┉┉10分

故ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

由此得ξ的數學期望┉┉┉12分

19、解：(I)設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，

依題意，有2(a₃+2)=a₂+a₄,

代入a₂+a₃+a₄=28, 得a₃=8,

∴a₂+a₄=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分

∴解之得或┉┉┉┉┉┉┉┉4分

又{a_n}單調遞增，∴q=2,a₁=2,

∴a_n=2ⁿ                              ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(II), ┉┉┉┉┉┉┉┉7分

∴        ①

∴  ②

∴①-②得＝┉10分

∴即

又當n≤4時,, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分

當n≥5時,.

故使成立的正整數n的最小值為5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

20、（I）證明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有A₁C₁⊥CC_1。

     ∵ ∠ACB＝90º，∴A₁C₁⊥C₁B₁，即A₁C₁⊥平面C₁CBB₁，

   ∵CG平面C₁CBB₁,∴A₁C₁⊥CG。┉┉┉┉┉┉┉┉2分

   在矩形C₁CBB₁中，CC₁＝BB₁＝2BC，G為BB₁的中點，

   CG＝BC，C₁G＝BC，CC₁＝2BC

   ∴∠CGC₁＝90，即CG⊥C₁G┉┉┉┉┉┉┉┉4分

而A₁C₁∩C₁G=C₁，

∴CG⊥平面A₁GC₁。

∴平面A₁CG⊥平面A₁GC₁。┉┉┉┉┉┉┉┉6分

（II）由于CC₁平面ABC，

 ∠ACB＝90º，建立如圖所示的空間坐標系，設AC＝BC＝CC₁＝a，則A(a,0,0),B(0,a,0)

A₁(a,0,2a),G(0,a,a).

∴=(a,0,2a),=(0,a,a). ┉┉┉┉┉┉┉┉8分

設平面A₁CG的法向量n₁=(x₁,y₁,z₁),

由得

令z₁=1,n₁=(-2,-1,1). ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

又平面ABC的法向量為n₂=(0,0,1) ┉┉┉┉┉┉┉┉10分

設平面ABC與平面A₁CG所成銳二面角的平面角為θ，

則┉┉┉┉┉┉┉┉11分

即平面ABC與平面A₁CG所成銳二面角的平面角的余弦值為。┉┉┉12分

21、解：（I）∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓M的半徑r＝2，┉┉┉┉┉┉1分

   ∴M到y軸的距離d＝┉┉┉┉┉┉┉┉2分

   又圓M與x軸相切，∴當x＝c時，得y＝,r＝┉┉┉┉┉┉┉┉3分

∴＝2，c＝┉┉┉┉┉┉┉┉4分

∵解得a＝3或a＝－1（舍去），則b²＝2a＝6. ┉┉5分

故所求的橢圓方程為.┉┉┉┉┉┉┉┉6分

（2）設C(x₁,y₁),D(x₂,y₂)。

①當直線CD與x軸重合時，有

∵c=1, ∴a²=b²+c²>1,

恒有┉┉┉┉┉┉┉┉7分

②當直線CD不與x軸重合時，設直線CD的方程為x=my+1，代入

整理得┉┉┉┉┉┉┉┉8分

∴

∵恒有，∴恒為鈍角，

則=x₁x₂+y₁y₂<0恒成立┉┉┉┉┉┉┉┉9分

∴x₁x₂+y₁y₂=(m²+1)y₁y₂+m(y₁+y₂)+1=+1

┉┉┉┉┉┉┉┉10分

又>0

∴<0對mR恒成立，

即對mR恒成立。

當mR時，的最小值為0，∴<0. ┉┉┉┉┉┉┉┉11分

∴,即

∴a>0,b>0, ∴a<b²,即a<a²-1, ∴a²-a-1>0.

解得或，即。

由①②可知，a的取值范圍是(,+∞) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

22、（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x

即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分

記，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于.

求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分

當時;;當時， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分

故在x=e處取得極小值，也是最小值，

即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分

（2）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分

令g(x)=x-2lnx,則 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

當時，,當時，

g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數。

故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

（3）存在m=，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性

,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分

若，則，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;┉┉┉11分

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時，函數的單調遞增區間為(,+∞)

單調遞減區間為(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區間是(0,)，單調遞增區間是(，+∞)

故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

即當m=時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。┉14分