四川省雙流縣2009屆高三第二次診斷性模擬考試
數學（理）試題 （2009、5）
考生注意；全卷滿分150分，完成時間120分鐘
第I卷（選擇題共60分）
一、選擇題：（本題只有12個題，每小題5分，共60分）在每小題給出的四個選項中，只有一個正確，把正確選項的代號填在機讀卡的指定位置上。
1．已知A，B滿足運算
，則
A．
B．
C．
D．
2．設
為實數時，實數
的值是
A．3 B．
3．若
展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為
A．10 B．
4．若
，則
的值是
A．
B．
C．
D．
5．已知數列
滿足：
且對任意的正整數
都有
，若數列的前
項和為
，則
A．
B．
C．
D．2
6．在坐標平面上，橫坐標與縱坐標均為整數的點稱為整點，對任意自然數，連結原點
與點
，用
表示線段
上除端點外的整點個數，則
A．1 B．
7．已知函數
的定義域為
，不等式
恒成立，則實數的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
8．用1、2、3、4四個數字構造一個四位數，這個數個位數字是1，且恰好有兩個相同數字的概率是
A．
B．
C．
D．
9．已知平面上兩點
和
，若直線上存在點P使
，則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中是“單曲型直線”的是
①
②
③
④
A.
①③ B． ③④ C． ②③ D． ①②
10．如圖所示，
為正三角形，四邊形
為正方形，平面
平面，
為平面內的一動點，且滿足
，則點在正方形內的軌跡為
(注意：為正方形的中心)
A.
B． C．
D．
11．設
，在
上分別有動點
，若
，
的重心是
，則
的最小值是
A．1 B．
12．函數
，若
，則
的最小值為
A． B．
C．2 D．
第II卷（非選擇題共90分）
二、填空題（本大題共4小題，共16分）把答案填在題中橫線上。
13．10名同學合影，站成了前排3人后排7人，現攝影師要從后排7人中抽2人站到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數為
14．已知圓的半徑為，它的內接
滿足
，則面積的最大值是
15．已知
所確定的平面區域記為D．若圓
所有的點都在區域D上，則圓的面積的最大值為
16．設球的半徑為，
為球面上三點，
與
、與
的球面距離都為
，與的球面距離為
，則球夾在二面角
內的那部分的體積是
三、解答題（本大題共6個小題，共74分）
17．（本大題滿分12分）
已知函數
（1）
若
，且
，求
的值；
（2）
設
為常數，若
在區間
上是增函數，求
的取值范圍。
18． （本大題滿分12分）
如圖，直三棱柱
中，
為棱
上的一動點，
分別為
的重心。
（1）
求證：
（2）
若點在
上的正射影正好為
（i）
求二面角
的大小；
（ii）
求點
到平面
的距離。
19． （本大題滿分12分）
一個盒子中裝有分別標有數字1，2，3，4的4個大小、形狀完全相同的球，現從中又放回地隨機抽取2個球，抽取的球的標號分別為
，記
（1）
求
取得最大值時的概率；
（2）
求的分布列及數學期望。
20． （本大題滿分12分）
已知數列滿足
（1）
求數列的通項公式
；
（2）
設
，若數列
的前項和為，求的表達式；
（3）
記
，求證：
21． （本大題滿分12分）
（如圖）設橢圓中心在坐標原點，
是它的兩個頂點，直線
與
相交于點
，與橢圓相交于
兩點。
（1）
若
，求
的值；
（2）
求四邊形
面積的最大值。
22． （本大題滿分14分）
已知函數
。
（1）
若函數
在
上是增函數，求正實數的取值范圍；
（2）
當
時，求函數在
上的最大值和最小值；
（3）
當時，證明：對任意的正整數
，不等式
都成立。
四川省雙流縣2009屆高三第二次診斷性模擬考試
選擇題： CABDA BBADA BB
4、原式
由條件可求得：
原式
故選D
5、由題得
，則
是公比為
的等比數列，則
，故選答案
6、由已知可得
，直線
的方程
，
直線過兩個整點
，（
），即
，故應選B
7、令
，則
，其值域為
．由
對數函數的單調性可知：
，且
的最小值
而，
故選答案
。
8、共有
個四位數，其中個位數字是1，且恰好有兩個相同數字的四位數分為兩類：一類：“
個；另一類；其他三個數字之一重復，有
種。所以答案為：A
9、由題意可知滿足
的
的軌跡是雙曲線的右支，根據“單曲線型直線”的定義可知，就是求哪條直線與雙曲線的右支有交點，故選D
10、選。可以證明D點和AB的中點E到P點和C點的距離相等，所以排除B和C選項。滿足
的點在PC的中垂面上，PC的中垂面與ABCD的交線是直線，從而選A。
11、解：以
的平分線所在直線為
軸，建立坐標系，設
，則
則
、
、
，
所以
，故當且僅當
，即
為正三角形時，
故選B
12、
則
，
，
故
則
的最小值為，故選答案。
二、填空題
13、
。
14、利用正弦定理可將已知等式變為
即
，
， 
當
時，
有最大值
15、
。
16、
。畫圖分析得
球
在二面角
內的那一部分的體積是球的體積的，所以
。
三、解答題：
17、解：
（1）由
得
或
在
上是增函數，
可額
可得
18、（1）如圖建立空間直角坐標系，則
設
分別為
的重心，
，
，即
（2）（i）
平面
，
，平面的法向量為
，
平面
的法向量為
故
，即二面角
的大小為
（ii）設平面
的法向量
，
，由
解得
又
，點
到平面
的距離為
18、解：（I）抽取的球的標號可能為1，2，3，4
則
分別為0，1，2，3：
分別為
因此
的所有取值為0，1，2，3，4，5
當
時，可取最大值5，此時
（Ⅱ）當
時，
的所有取值為（1，2），此時
；
當
時，的所有取值為（1，1），（1，3），（2，2），此時
當
時，的所有取值為（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此時
當
時，的所有取值為（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此時
當
時，的所有取值為（3，4），（4，1），（4，3），此時
故的分布列為：
0
1
2
3
4
5
。
20解：（1）
故
。
（Ⅱ）由（I）知
令
則
。當
時，
；
當
時，
（Ⅲ）
，
①-②得
令
則
。
則
。
而
。
21、（I）解：依題設得橢圓的方程為
，
直線
的方程分別為
如圖，設
其中
，
且
滿足方程
故
①
由
知
得
由
在
上知
得
。
所以
，化簡得
，
解得
或
。
（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點
，
到的距離分別為
，
又
，所以四邊形
的面積為
，
當
即當
時，上式取等號，所以
的最大值為2
。
解法二：由題設，
，
設
由①得
，
故四邊形的面積為
+
=
當
時，上式取等號，所以的最大值為
22、解：（I）由題設可得
函數在
上是增函數，
當
時，不等式
即
恒成立。
當時，
的最大值為1，則實數
的取值范圍是；
（Ⅱ）當
時，
當
時，
，于是 在
上單調遞減；
當
時，
，于是在
上單調遞增。
又
綜上所述，當
時，函數在
上的最小值為
，當
時，
函數在上的最大值為
（Ⅲ）當時，由（Ⅰ）知
在上是增函數
對于任意的正整數
，有
，則
即
，
。
。
而
則
成立，
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