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如圖，在直三棱柱中，，，為棱 上的一點，分別為、的重心．
（1）求證：；
（2）若二面角的正切值為，求兩個半平面、所成銳二面角的余弦值；
（可選）若點在平面的射影正好為,試判斷在平面的射影是否為．

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設D是△ABC的BC邊上一點，把△ACD沿AD折起，使C點所處的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上．
（1）求證：直線C′D與平面ABD和平面AHC′所成的兩個角之和不可能超過90°；
（2）若∠BAC=90°，二面角C′-AD-H為60°，求∠BAD的正切值．
???

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設D是△ABC的BC邊上一點，把△ACD沿AD折起，使C點所處的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上．
（1）求證：直線C′D與平面ABD和平面AHC′所成的兩個角之和不可能超過90°；
（2）若∠BAC=90°，二面角C′-AD-H為60°，求∠BAD的正切值．
???

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選擇題： CABDA   BBADA   BB

4、原式

由條件可求得：    原式   故選D

5、由題得，則是公比為的等比數列，則，故選答案

6、由已知可得，直線的方程，

直線過兩個整點，（），即，故應選B

7、令，則，其值域為．由

對數函數的單調性可知：，且的最小值而，

故選答案。

8、共有個四位數，其中個位數字是1，且恰好有兩個相同數字的四位數分為兩類：一類：“1”重復，有個；另一類；其他三個數字之一重復，有種。所以答案為：A

9、由題意可知滿足的的軌跡是雙曲線的右支，根據“單曲線型直線”的定義可知，就是求哪條直線與雙曲線的右支有交點，故選D

10、選。可以證明D點和AB的中點E到P點和C點的距離相等，所以排除B和C選項。滿足的點在PC的中垂面上，PC的中垂面與ABCD的交線是直線，從而選A。

11、解：以的平分線所在直線為軸，建立坐標系，設，則則、、，

所以

，故當且僅當，即為正三角形時，  故選B

12、則，

，

故則的最小值為，故選答案。

二、填空題

13、。

14、利用正弦定理可將已知等式變為即，

，  

當時，有最大值

15、。

16、。畫圖分析得球在二面角內的那一部分的體積是球的體積的，所以。

三、解答題：

17、解：

（1）由得或

在上是增函數，

可額可得

18、（1）如圖建立空間直角坐標系，則

設

分別為的重心，，

，即

（2）（i）平面，

，平面的法向量為，

平面的法向量為

故，即二面角的大小為

（ii）設平面的法向量，

，由解得

又，點到平面的距離為

18、解：（I）抽取的球的標號可能為1，2，3，4

則分別為0，1，2，3：分別為

因此的所有取值為0，1，2，3，4，5

當時，可取最大值5，此時

（Ⅱ）當時，的所有取值為（1，2），此時；

當時，的所有取值為（1，1），（1，3），（2，2），此時

當時，的所有取值為（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此時

當時，的所有取值為（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此時

當時，的所有取值為（3，4），（4，1），（4，3），此時

故的分布列為：

0

1

2

3

4

5

。

20解：（1）

   故。

（Ⅱ）由（I）知

令則。當時，；

當時，

（Ⅲ），

①-②得

令則

。

則。

而  。

21、（I）解：依題設得橢圓的方程為，

直線的方程分別為

如圖，設其中，

且滿足方程故①

由知得

由在上知得。

所以，化簡得，

解得或。

（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點，到的距離分別為

，

又，所以四邊形的面積為

，

當即當時，上式取等號，所以的最大值為2。

解法二：由題設，，

設由①得，

故四邊形的面積為+=

當時，上式取等號，所以的最大值為

22、解：（I）由題設可得

函數在上是增函數，

當時，不等式即恒成立。

當時，的最大值為1，則實數的取值范圍是；

（Ⅱ）當時，

當時，，于是 在上單調遞減；

當時，，于是在上單調遞增。

又

綜上所述，當時，函數在上的最小值為，當時，

函數在上的最大值為

（Ⅲ）當時，由（Ⅰ）知在上是增函數

對于任意的正整數，有，則

即，。

。

而則成立，