Question

如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大，水平向左的勻強(qiáng)電場，在虛線的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長，半圓環(huán)MAP的磁場邊界左側(cè)，P、M點(diǎn)在磁場邊界線上．現(xiàn)在有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的中間開孔的小環(huán)穿在MN桿上，可沿軌道運(yùn)動(dòng)，它所受電場力為重力的

3

4

倍．不計(jì)一切摩擦．現(xiàn)將小球從M點(diǎn)右側(cè)的D點(diǎn)由靜止釋放，DM間距離x₀=3R．
（1）求小球第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)的速度v_A大小，及半圓環(huán)對(duì)小球作用力N的大小；
（2）小球的半圓環(huán)所能達(dá)到的最大動(dòng)能E_k．

Answer 1

分析：（1）選擇D到A作為研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大小．
（2）當(dāng)小球所受的電場力與重力的合力方向與速度方向垂直，即沿軌道半徑向外時(shí)，小球的動(dòng)能達(dá)到最大，根據(jù)力的合成，求出合力與豎直方向的夾角，根據(jù)動(dòng)能定理求出最大動(dòng)能E_k．

解答：解：（1）小球在A點(diǎn)時(shí)的速度為v_A，從D至A點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得
  qE（x₀+R）-mgR-

1

2

m

v

2 A

-0
解得v_A=2

gR

設(shè)小球在A點(diǎn)時(shí)所受半圓環(huán)軌道的作用力大小為N，
由牛頓第二定律得
    N-qv_AB-qE=

m v 2 A

R

解得  N=2qB

gR

+

19

4

mg
（2）小球所受重力和電場力合力與豎直方向夾角為θ，tanθ=

qE

mg

=

3

4

，所以θ=37°．
設(shè)小球在圓環(huán)上C位置時(shí)速度做大，則此位置OC與豎直夾角為37°．
D至C過程，據(jù)動(dòng)能定理有：
   qE（x₀+Rsin37°）-mgR（1-cos37°）=E_K-0
得最大動(dòng)能E_k=2.5mgR
答：（1）小球第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)的速度v_A大小是2

gR

，及圓環(huán)對(duì)小球作用力N的大小是2qB

gR

+

19

4

mg；
（2）小球的半圓環(huán)所能達(dá)到的最大動(dòng)能E_k是2.5mgR．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過程，根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式求解．本題可與單擺運(yùn)動(dòng)類比，找到小環(huán)動(dòng)能最大的位置．