Question

如圖所示，以A、B和C、D為端點的半徑為R=0.6m的兩半圓形光滑絕緣軌道固定于豎直平面內，B端、C端與光滑絕緣水平地面平滑連接．A端、D端之間放一絕緣水平傳送帶．傳送帶下方B、C之間的區域存在水平向右的勻強電場，場強E=5×10⁵V/m．當傳送帶以6m/s的速度沿圖示方向勻速運動時，現將質量為m=4×10^-3kg，帶電量q=+1×10^-8C的物塊從傳送帶的右端由靜止放上傳送帶．小物塊運動第一次到A時剛好能沿半圓軌道滑下．不計小物塊大小及傳送帶與半圓軌道間的距離，g取10m/s²，已知A、D端之間的距離為1.2m．求：
（1）物塊與傳送帶間的動摩擦因素；
（2）物塊第1次經CD半圓形軌道到達D點時速度；
（3）物塊第幾次經CD半圓形軌道到達D點時的速度達到最大，最大速度為多大．

Answer 1

分析：（1）先根據重力提供向心力列式求出過A點的速度，然后對加速過程運用動能定理列式求解即可；
（2）對從D出發，第一次回到D的過程運用動能定理列式求解即可；
（3）先全程列式求出到達D點速度等于傳送帶速度的傳動圈數，然后再加上一次即可．

解答：解：（1）由題意及向心力公式得：mg=m

v 2 A1

R

vA1=

gR

=

10×0.6

=

6

m/s＜v0
小滑塊從D到A的過程中被全程加速，由動能定理得：

1

2

m

v

2 A1

=μmgL
聯立以上各式并代入數據解得：μ=0.25
（2）小物塊從D出發，第一次回到D的過程，由動能定理得：

1

2

m

v

2 D1

=μmgL+qEL
聯立以上各式并代入數據解得：v_D1=3m/s
（3）設第n次到達D點時的速度等于傳送帶的速度，由動能定理得：

1

2

m

v

2 0

=nμmgL+nqEL
聯立以上各式并代入數據解得：n=4
由于n=4為整數，說明小物塊第4次到達D點時的速度剛好等于傳送帶的速度，則小物塊將同傳送帶一起勻速到A點，再次回到D點的速度為v_D，由動能定理得：

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 0

=qEL
帶入數據解得：vD=

39

m/s＞v₀
小物塊第5次到達D點后，將沿傳送帶做減速運動，設在傳送帶上前進距離S后與傳送帶速度相等，由動能定理得：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 D

=-μmgS
聯立以上各式并代入數據解得：S=0.6m
從以上計算可知，小物塊第5次到達D點后，沿傳送帶做減速到傳送帶中點以后即同傳送帶一起勻速到A點，以后的運動將重復上述的過程，因此小物塊第5次到達D點速度最大，最大速度為vD=

39

m/s．
答：（1）物塊與傳送帶間的動摩擦因素為0.25；
（2）物塊第1次經CD半圓形軌道到達D點時速度為3m/s；
（3）物塊第5次經CD半圓形軌道到達D點時的速度達到最大，最大速度為

39

m/s．

點評：本題關鍵是根據動能定理多次全程列式，涉及到牛頓第二定律、向心力公式、動能定理，較難！