Question

（2011?廣東）如圖所示，以A、B和C、D為端點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C，一物塊被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A時剛好與傳送帶速度相同，然后經A沿半圓軌道滑下，再經B滑上滑板，滑板運動到C時被牢固粘連，物塊可視為質點，質量為m，滑板質量M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，板右端到C的距離L在R＜L＜5R范圍內取值，E距A為S=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均μ=0.5，重力加速度取g．
（1）求物塊滑到B點的速度大小；
（2）試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關系，并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點．

Answer 1

分析：（1）物塊滑到B點經過了兩個過程，先是在傳送帶上的勻加速直線運動，由動能定理可求A點速度；
A到B的過程機械能守恒可求B點的速度．
（2）首先由動量守恒、動能定理判斷物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊有沒有離開滑板；再由物塊在C點的速度用機械能守恒判斷能否到達CD軌道的中點．

解答：解：（1）設物塊運動到A和B點的速度分別為v₁、v₂，
由動能定理得μmgS=

1

2

m

v

2 1

…①
由機械能守恒定律  

1

2

m

v

2 2

=2mgR+

1

2

m

v

2 1

…②
聯立①②，得v2=3

gR

…③
（2）設滑板與物塊達到共同速度v₃時，位移分別為l₁、l₂，
由動量守恒定律mv₂=（m+M）v_3…④
由動能定理  μmgl1=

1

2

M

v

2 3

…⑤
-μmgl2=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m

v

2 2

…⑥
聯立③④⑤⑥，得 l₁=2R　　　l₂=8R…⑦
物塊相對滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l
即物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板…⑧
物塊滑到滑板右端時
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L）…⑨
Wf=

1

4

mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁）…（11）
Wf=

17

4

mgR…（12）
設物塊滑到C點的動能為E_k，
由動能定理 -Wf=Ek-

1

2

m

v

2 2

…（13）
L最小時，克服摩擦力做功最小，因為L＞R，
由③⑩（13）確定E_k小于mgR，則物塊不能滑到CD軌道中點．
答：（1）物塊滑到B點的速度v2=3

gR

     （2）物塊不能滑到CD軌道中點．

點評：本題考查動量守恒和機械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板是關鍵，是一道比較困難的好題．