Question

一質量為m=2kg的小球從光滑斜面上高h=3.5m處由靜止滑下，斜面底端緊接著一個半徑為R=1m的光滑圓環，如圖示，試求：
（1）小球滑至圓環頂點時對環的壓力；
（2）小球至少應從多高處由靜止滑下才能越過圓環最高點；
（3）小球從h₁=2m處由靜止滑下時將在何處脫離圓環（g=10m/s²）

Answer 1

分析：動能定理結合牛頓第二定律解出小球運動到最高點時受到的彈力，小球運動到圓環的最高點應當具有最小速度，即僅當重力提供向心力時，滿足要求．

解答：解：（1）設小球滑至環頂時速度為v₁，所受環的壓力為N，選頂點為零勢點，小球運動過程中機械能守恒，
機械能守恒定律及圓周運動的知識
得：mg(h-2R)=

1

2

mv2
mg+FN=m

v2

R

，
由以上方程聯立得：F_N=40N
（2）當圓環對小球的壓力為零時，僅由重力充當向心力，對應的速度v₂為越過圓環最高點的最小速度，對應的高度h₁，為最低高度，
由機械能守恒定律及圓周運動知識
得：mg(h1-2R)=

1

2

m

v

2 2

mg=m

v 2 2

R

；
以上兩式聯立得：mg(h1-2R)=

1

2

mgR
h1=

1

2

R+2R=

5

2

R=2.5m
（3）由于h'＜h₁，故球在還沒有到達頂前即與環脫離，設脫離時圓環的位置半徑與豎直方向的夾角為θ，選軌道最低點為零勢點，
由機械能守恒定律及圓周運動知識：mgh′=

1

2

mv2+mg（R+Rcos）
mgcosθ=m

v2

R

兩式聯立得：cosθ=

2(h′-R)

3R

即cosθ=

2

3

；
所以θ=arccos

2

3

處小球與圓環脫離．
答：（1）小球滑至圓環頂點時對環的壓力為40N；
（2）小球至少應從2.5m高處由靜止滑下才能越過圓環最高點；
（3）小球從h₁=2m處由靜止滑下時將在θ=arccos

2

3

處脫離圓環．

點評：解決這類題目的關鍵點是找準運動過程中的臨界點，比如，小球運動到最高點具有最小速度．