Question

如圖所示，一個四分之三內壁光滑的圓弧軌道ABC，放置在豎直平面內，圓弧軌道半徑為R，在A點與水平桌面AD相接，桌面與圓心O等高．MN是放在水平桌面上長為R、厚度不計的墊子（小球落在上面不反彈），左端M正好位于A點．將一個質量為m的小球從A處正上方P點由靜止釋放，從A點沿切線進入圓弧形軌道．不考慮空氣阻力．
（1）欲使小球沿軌道通過C點后落到N點，P點距水平桌面AD的高度是多少？落到N點時速度方向與水平方向的夾角θ多大？
（2）通過計算說明，小球沿圓弧軌道離開C點后能否再從A點進入圓弧軌道．

Answer 1

分析：（1）離開C點小球做平拋運動，由平拋運動的規律可以求得C點速度的大小．P到C的過程中機械能守恒，即可求得P點的高度；
（2）小球從最高點到C點的過程中機械能守恒，根據機械能使守恒定律求解高度H，再根據自由落體運動求解時間，從而求出時間比；
（3）小球下降的高度最高時，小球運動的水平位移為4R，打到N點根據平拋運動求得速度．根據機械能守恒定律求解．

解答：解：（1）設能夠落到N點，過C點時速度為v₁，根據運動學公式可得：
豎直方向：R=

1

2

gt2
水平方向：2R=v₁t
設小球下落的高度為H，根據動能定理可知：mg(H-R)=

1

2

m

v

2 1

由以上式子可得：
H=2R
又由平拋運動的規律的tanθ=

vy

vx

=2

R

2R

=1
θ=45⁰
（2）設小球恰好通過C點的速度為v₂
mg=m

v 2 2

R

v2=

gR

離開C點后作平拋運動R=

1

2

gt2
x=v₂t
由上式的x=

2

R＞R不能從A點進入圓弧軌道
若v2＜

gR

小球將不能沿圓弧軌道通過C點．
故小球不可能沿圓弧軌道離開C點后再從A點進入軌道．
答：（1）使小球沿軌道通過C點后落到N點，P點距水平桌面AD的高度是2R；落到N點時速度方向與水平方向的夾角θ是45°；
（2）小球沿圓弧軌道離開C點后不能再從A點進入圓弧軌道．

點評：知道物體的運動過程，根據物體的不同的運動狀態，采用相應的物理規律求解即可．