Question

如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A，車總長為L．車上有兩個小滑塊B和C（都可視為質點），B與車之間的動摩擦因數為μ，而C與車之間的動摩擦因數為2μ．開始時B、C分別從車的左、右兩端同時以大小相同的初速度相向滑行．經過一段時間，C、A的速度達到相等，此時C和B恰好發生碰撞．已知C和B發生碰撞時兩者的速度立刻互換，且碰撞時間極短．A、B、C三者的質量都相等，重力加速度為g．設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力，求：
（1）B、C剛滑上平板車A時，A、B、C三者各自的加速度？
（2）B和C剛滑上平板車時的初速度v₀的大小？
（3）C和B發生碰撞后經過多長時間A、B、C三者的速度相同？共同速度為多少？（滑塊C最后沒有脫離車）

Answer 1

分析：（1）設ABC三者的質量都為m，根據牛頓第二定律即可求得各自的加速度；
（2）從開始到C、A的速度達到相等這一過程所需要的時間為t，分別對ABC由牛頓定律和運動學規律列式即可求解；
（3）先求出ABC三者的末速度，C和B發生碰撞時兩者速度立刻互換，B和A的速度相等，C和B發生碰撞后經過t₀時間ABC三者速度相同，共同速度為v，根據牛頓第二定律及運動學基本公式列式即可求解．

解答：解：（1）設ABC三者的質量都為m，根據牛頓第二定律得：
f_c=2μmg=ma_c，解得：a_c=2μg，方向水平向右
f_b=μmg=ma_b，解得：a_b=μg，方向水平向左
f_c-f_b=μmg=ma_a，解得：a_a=μg，方向水平向左
（2）從開始到C、A的速度達到相等這一過程所需要的時間為t
對C，由牛頓定律和運動學規律有
v_C=v₀-a_Ct
SC=

1

2

(v0+vC)t
對A，由牛頓定律和運動學規律有
v_A=a_At=v_C
SA=

1

2

vAt
對B，由牛頓定律和運動學規律有
v_B=v₀-a_Bt
SB=

1

2

(v0+vB)t
C和B恰好發生碰撞，則有
S_C+S_B=L
由以上各式解得初速度v0=

2μgL

（3）ABC三者的末速度分別為vA=vC=

1

3

v0（向左）
vB=

2

3

v0（向右）
C和B發生碰撞時兩者速度立刻互換，則碰后C和B的速度各為
v′C=

2

3

v0（向右）
v′B=

1

3

v0（向左）
碰撞后B和A的速度相等，設B和A保持相對靜止一起運動，此時對B和A整體有
f_c=2μmg=2ma
隔離B，則B受到的摩擦力為
f′_b=ma
可得f′_b=μmg，說明B和A保持相對靜止一起運動
C和B發生碰撞后經過t₀時間ABC三者速度相同，共同速度為v，向右為正
f_c=-2μmg=ma′_c解得：a′_c=-2μg
f_AB=-f_C=2μmg=ma′_AB解得：a′_AB=μg

2

3

v₀-2μgt₀=-

1

3

v₀+μgt₀=v
解得：t0=

v0

3μg

=

2μgl

3μg

，v=0
答：（1）B、C剛滑上平板車A時，A、B、C三者各自的加速度分別為μg，μg，2μg；
（2）B和C剛滑上平板車時的初速度v₀的大小為

2μgL

；
（3）C和B發生碰撞后經過

2μgl

3μg

時間A、B、C三者的速度相同，共同速度為0

點評：本題主要考查了牛頓運動定律及運動學基本公式的應用，要知道C和B發生碰撞時兩者速度立刻互換，碰撞后B和A的速度相等，難度適中．