Question

如圖所示，光滑水平面上有一小車B，右端固定一砂箱，砂箱左側連接一水平輕彈簧，小車和砂箱的總質量為M．車上放有一小物塊A，質量也為M．物塊A隨小車以速度υ₀向右勻速運動．物塊A與其左側的車面的動摩擦因數為μ，與其它車面的摩擦不計．在車勻速運動的過程中，距砂面H高處有一質量為m=

M

2

的泥球C自由下落，恰好落在砂箱中，并在極短時間內下降h=

H

5

相對小車靜止．求：
（1）小車在前進中，彈簧彈性勢能的最大值是多少？
（2）為使物塊A不從小車上滑下，車面粗糙部分至少多長？
（3）從泥球下落至物塊相對小車靜止的全過程中，A、B、C系統產生總內能為多少？

Answer 1

分析：1、泥球落入砂箱時，水平方向動量守恒．由于泥球水平方向的速度為0，故碰撞后小車的速度減小．而A的速度不變（A右側無摩擦），因此，A將與彈簧碰撞，壓縮彈簧．在彈簧彈力作用下，A減速，小車加速．只要A的速度大于小車的速度，A將繼續壓縮彈簧，彈簧的彈性勢能將繼續增大．當A的速度等于小車速度時，彈簧壓縮到最短，此時其彈性勢能最大．此后，A繼續減速，小車繼續加速，A的速度小于小車的速度，彈簧的壓縮量減小，彈性勢能變小．
2、由1可知，當彈簧恢復原長時，A必相對于小車向左滑動．當A滑上粗糙部分后，在摩擦力作用下，最后相對于小車靜止．從A滑上小車粗糙部分開始到相對小車靜止的過程中，A相對于小車滑行的距離即為所要求的最小距離．
3、根據能量守恒列出等式求解．

解答：解：（1）依題意，當A與小車的速度再次相等時，彈簧的彈性勢能最大．
泥球落入砂箱過程中，車與泥球系統水平方向動量守恒．
設泥球落入砂箱后車速為v₁．有：
Mv₀=（M+m）v₁
從A開始壓縮彈簧到兩者速度相等的過程中，系統動量守恒．
設系統的共同速度為v₂，有：
Mv₀+（M+m）v₁=（M+M+m）v₂
E_p=

1

2

M

V

2 0

+

1

2

（M+m）

v

2 1

-

1

2

（2M+m）

v

2 2

從A開始壓縮彈簧到兩者速度相等的過程中，系統損失的動能轉化為彈簧的彈性勢能．有：
E_p=

Mm2v 2 0

2(M+m)(2M+m)

（2）從彈簧壓縮最短到A受摩擦力作用而再次相對小車靜止的過程中，系統動量守恒．
因此，A相對小車靜止后，它們的共同速度必等于v₂，即此過程始、末狀態系統的動能未變，
因此，彈簧減少的彈性勢能通過摩擦力做功轉化為系統的內能．
設A相對于小車滑行的距離為L．有：μMgL=E_P
L=

m2v 2 0

2μg(M+m)(2M+m)

（3）根據能量守恒得：△E=mg(H+h)+

1

2

?2M?

υ

2 0

-

1

2

(2M+m)

υ

2 2

即系統產生的總內能為：△E=

1

5

M(3gH+

υ

2 0

)
答：（1）小車在前進中，彈簧彈性勢能的最大值是E_p=

Mm2v 2 0

2(M+m)(2M+m)

（2）為使物塊A不從小車上滑下，車面粗糙部分至少

m2v 2 0

2μg(M+m)(2M+m)

（3）從泥球下落至物塊相對小車靜止的全過程中，A、B、C系統產生總內能為△E=

1

5

M(3gH+

υ

2 0

)

點評：解決該題關鍵要掌握動量守恒和能量守恒列出等式求解，注意小球掉小車的過程中是小球與車水平方向的動量守恒．