Question

（1）如圖a所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止P點．設滑塊所受支持力為F_N．OP與水平方向的夾角為θ．則F=

mgcotθ

，F_N=

mg

sinθ

．
（2）2011年4月10日，我國成功發射第8顆北斗導航衛星，建成以后北斗導航衛星系統將包含多可地球同步衛星，這有助于減少我國對GPS導航系統的依賴，GPS由運行周期為12小時的衛星群組成，設北斗星的同步衛星和GPS導航的軌道半徑分別為R₁和R₂，向心加速度分別為a₁和a₂，則R₁：R₂=

3	4

：1

．a₁：a₂=

1：

3	16

（可用根式表示）
（3）一質量為M、傾角θ為的斜面體在水平地面上，如圖b中質量為m的小木塊（可視為質點）放在斜面上，現用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木塊，拉力在斜面所在的平面內繞小木塊旋轉一周的過程中，斜面體和木塊始終保持靜止狀態，則小木塊受到斜面的最大摩擦力為

F+mgsinθ

，斜面體受到地面的最大摩擦力為

F

．

Answer 1

分析：（1）以滑塊為研究對象，分析受力情況，作出力圖．滑塊在力F的作用下處于靜止狀態，合力為零，由此條件列式求解力F和F_N的大小．
（2）北斗星的同步衛星的周期為24h，根據開普勒第三定律求解R₁：R₂；根據牛頓第二定律求解a₁：a₂．
（3）分析物體的受力情況，根據平衡條件求解小木塊受到斜面的最大摩擦力和斜面體受到地面的最大摩擦力．

解答：解：（1）滑塊的受力情況如圖所示，由物體的平衡條件可得：
F_Nsinθ=mg，F_Ncosθ=F，
聯立解得：F_N=

mg

sinθ

，F=mgcotθ．
（2）北斗星的同步衛星和GPS導航的周期分別為T₁=24h，T₂=12h，根據開普勒第三定律得：

T 2 1

T 2 2

=

R 3 1

R 3 2

得：

R1

R2

=

3	T 2 1 T 2 2

=

3	4

衛星的向心力由地球的萬有引力充當，設地球的質量為M，衛星的質量為m，衛星的軌道半徑為R，則
   G

Mm

R2

=ma
得，a=

GM

R2

故a₁：a₂=

R

2 2

：

R

2 1

=1：

3	16

（3）當F沿斜面向下時，小木塊受到斜面的摩擦力最大，最大值為f_1m=F+mgsinθ；
對整體：當F沿水平方向時，斜面受到的靜摩擦力最大，最大值為f_2m=F；
故答案為：
（1）mgcotθ，

mg

sinθ

；
（2）

3	4

：1，1：

3	16

   
（3）F+mgsinθ，F

點評：本題考查了物體的平衡、萬有引力的應用等等知識．對于衛星問題，關鍵要建立物理模型，根據牛頓第二定律、萬有引力定律和圓周運動知識進行求解．