Question

理論研究表明，物體在地球附近都受到地球對它的萬有引力作用，具有引力勢能．選物體在距地球無限遠處的引力勢能為零，則引力勢能可表示為Ep=-

GMm

r

（其中G為萬有引力常量，M為地球質量，m為物體的質量，r是物體到地心的距離）．現有一質量m′的人造衛星繞地球做圓周運動周期T．若要從地面上將這顆衛星發射成功，則至少需做多少功？（已知地球質量為M，半徑為R，萬有引力常量為G，且忽略空氣阻力對衛星發射的影響）

Answer 1

分析：根據萬有引力等于向心力求出人造衛星的軌道半徑，從而得出在軌道上的動能和勢能之和，根據能量守恒定律求出至少做功的多少．

解答：解：設衛星繞地球做圓周運動半徑r′，牛頓第二定律得：

GMm′

r′2

=m′r′

4π2

T2

=m′

v2

r′

解得r′=

3	GMT2 4π2

，EK=

1

2

mv2=

GMm′

2r′

，在r′軌道上運動具有的機械能為E=EK+EP=

-GMm′

2r′

地面發射須做功W=△E=

GMm/

R

-

GMm/

2 3 GMT2 4π2

．
答：若要從地面上將這顆衛星發射成功，則至少需做功為

GMm/

R

-

GMm/

2 3 GMT2 4π2

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，以及知道至少做功的多少等于機械能的增量．