Question

1957年第一顆人造衛星上天，開辟了人類宇航的新時代．四十多年來，人類不僅發射了人造地球衛星，還向宇宙空間發射了多個空間探測器．空間探測器要飛向火星等其它行星，甚至飛出太陽系，首先要克服地球對它的引力的作用．
理論研究表明，物體在地球附近都受到地球對它的萬有引力的作用，具有引力勢能，設物體在距地球無限遠處的引力勢能為零，則引力勢能可以表示為E=-G=

Mm

r

，其中G是萬有引力常量，M是地球的質量，m是物體的質量，r是物體距地心的距離．
現有一個空間探測器隨空間站一起繞地球做圓周運動，運行周期為T，已知探測器的質量為m，地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g．要使這個空間探測器從空間站出發，脫離地球的引力作用，至少要對它作多少功？

Answer 1

分析：空間探測器隨空間站一起繞地球做圓周運動，由地球的萬有引力充當向心力，根據牛頓第二定律列式可求出空間站的軌道半徑和速度，即可得到空間探測器具有的機械能．空間站要脫離地球的引力，機械能最小值為E_∞=0，根據功能關系求功．

解答：解：空間探測器繞地球作圓周運動，有
由G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r=m

v2

r

得，空間站的軌道半徑r=

3	GMT2 4π2

　　
隨空間站一起運動時，空間探測器的動能為

1

2

mv2=

GMm

2r

=

m

2

3	( 2πGM T )2

．
隨空間站一起運動時，空間探測器具有的機械能為
  E₁=-G

Mm

r

+

1

2

mv2=-

GMm

2r

空間站要脫離地球的引力，機械能最小值為E_∞=0，因此，對探測器做功為
W=E_∞-E₁=

GMm

2r

　　　　　　
由地面附近的重力加速度g=G

M

R2

 得W=

m

2

3	( 2πgR2 T )2

　
答：要使這個空間探測器從空間站出發，脫離地球的引力作用，至少要對它作

m

2

3	( 2πgR2 T )2

的功．

點評：對于衛星類型，要根據其運動模型，由萬有引力定律、圓周運動規律和功能關系求解．