Question

用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb?a?．如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行．設勻強磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計．可認為方框的aa?邊和bb?邊都處在磁極間，極間磁感應強度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計空氣阻力設磁場區域在豎直方向足夠長）．
（1）當方框下落的加速度為

g

2

時，求方框的瞬時速度v₁
（2）方框下落的最大電功率多大？
（3）已知方框下落的時間為t時，下落的高度為h，其速度為v_t（v_t＜v_m）．若在同一時間t內，方框內產生的熱與一恒定電流I₀在該框內產生的熱相同，求恒定電流I₀的表達式．

Answer 1

分析：（1）方框下落加速度為

g

2

時，根據牛頓第二定律與運動學公式，即可求解．
（2）分析方框運動的過程，知道當方框勻速運動時速度最大時感應電流大小，再根據焦耳定律求解．
（3）根據能量守恒定律表示出時間t內方框內產生的熱量表達式，再求出恒定電流I₀的表達式．

解答：解：（1）方框質量    m=4LAd
方框電阻            R=ρ

4L

A

方框下落速度為v時，產生的感應電動勢  E=B?2Lv
感應電流              I=

E

R

=

BAv

2ρ

方框下落過程，受到重力G及安培力F，
G=mg=4LAdg，方向豎直向下
安培力F=BI?2L=

B2AL

ρ

v，方向豎直向上
當方框下落加速度為

g

2

時，根據牛頓第二定律，方框達到速度則為v，
則mg-F=ma
因此v=

2dgρ

B2

    
（2）當方框勻速下落時，則有G=F，
即

B2AL

ρ

vm=4LAd
方框下落的最大速度    v_m=

4ρdg

B2

，
則方框的發熱功率   P=I²R=Gv_m=

16ρALd2g2

B2

（3）根據能量守恒定律，方框重力勢能轉化動能和電流產生的熱量，所以有
 mgh=

1

2

m

v

2 t

+

I

2 0

Rt
I₀=

m Rt (gh- 1 2 v 2 t )

解得：恒定電流I₀的表達式     I₀=A

d ρt (gh- v 2 t 2 )

答：（1）當方框下落的加速度為

g

2

時，則方框的瞬時速度v=

2dgρ

B2

；
 （2）方框下落的最大電功率P=

16ρALd2g2

B2

；
（3）恒定電流I₀的表達式I0=A

d ρt (gh- 1 2 v 2 t )

．

點評：解答這類問題的關鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運動特征．
電磁感應與電路結合的題目，感應電動勢是中間橋梁．