Question

如圖所示，在光滑水平桌面上放有長木板C，C的右端有固定擋板P，木板C的長度為2L．另有小物塊A和B可以在長木板上滑動，A、C之間和B、C之間的動摩擦因數相同，A、C之間和B、C之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計，A、B、C（連同擋板P）的質量皆為m．
（1）若C被固定在桌面上，B靜止放在木板C的中央，A以初速度v．從左端沖上木板C，物塊A剛好能碰到B，求A、C之間的動摩擦因數．
（2）若C未被固定在桌面上，開始時B靜止放在木板C的中央，A以初速度v'₀從左端沖上木板C．
a．要使物塊A與B能相碰，初速度v'₀應滿足的條件是什么？
b．若物塊A與B發生碰撞過程的時間極短，且碰撞過程中沒有機械能損失，要使物塊B能夠與擋板P發生碰撞，初速度v'₀應滿足的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）木板C固定，A從左端沖上木板C，剛好能碰到B，對該過程運用動能定理，求出A、C間的動摩擦因數．
（2）a、若C未被固定在桌面上，開始時B靜止放在木板C的中央，A以初速度v'₀從左端沖上木板C．木塊A做勻減速直線運動，木板B和木塊C一起做勻加速直線運動，兩者恰好相碰時，速度相等，結合動量守恒定律和能量守恒定律以及動能定理求出初速度v'₀應滿足的條件．
b、若物塊A與B發生碰撞過程的時間極短，且碰撞過程中沒有機械能損失，A與B組成的系統動量守恒，因為A、B間碰撞過程中沒有能量損失，質量又相等，則A、B碰撞前后交換速度．要使物塊B能夠與擋板P發生碰撞，抓住臨界情況，B與P相撞時具有相同速度，結合動量守恒定律、能量守恒定律求出初速度v'₀應滿足的條件．

解答：解：（1）木板C固定，A從左端沖上木板C，剛好能碰到B，根據動能定理得，
-μmgL=0-

1

2

mv02
解得μ=

v02

2gL

．
（2）a、木板C不固定，當物塊A以初速度沖上木板且向右運動時，A受到木板C施加的大小為μmg的滑動摩擦力而減速．木板C受到A施加的大小為μmg的方向向右的滑動摩擦力．
假設B、C間有相對運動，則B對C有滑動摩擦力，大小為μmg，方向向左，那么C在A對C向右的滑動摩擦力和B對C的向左的摩擦力共同作用下，應靜止，顯然不符合實際．B在C的靜摩擦力作用下，和C一起向右加速．
若A與B剛好不能相碰，即A滑動木板C的中央，與B剛好接觸且速度相同，設為v₁，
根據動量守恒定律有：mv₀′=3mv₁   
在此過程中，設木板C向右運動的位移為s₁，則物塊A運動的位移為s₁+L．
由動能定理有：
-μmg(s1+L)=

1

2

mv12-

1

2

mv0′²．
μmgs1=

1

2

(2m)v12    
可得：μmgL=

1

2

mv0′2-

1

2

(3m)v12
聯立解得v0′=

6

2

v0．
物塊A與B相碰的條件是v0′＞

6

2

v0．
b、當物塊A的初速度足夠大，A與B能發生碰撞，設碰撞前瞬間A、B、C三者的速度分別為v_A、v_B、v_C，有v_A＞v_B，v_B=v_C
A與B碰撞的時間極短，碰撞過程中，A與B組成的系統動量守恒，因為A、B間碰撞過程中沒有能量損失，質量又相等，則A、B碰撞前后交換速度，碰撞后瞬間，A、B、C三者的速度分別為v_A′、v_B′、v_C′，有：
v_B′=v_A，v_A′=v_B，v_C′=v_C．
這樣A與C速度相等，二者保持相對靜止．v_B′＞v_A′（=v_C′），B在C上繼續向右滑動，B的速度逐漸減小，C與A的速度逐漸增大．
若物塊B剛好與擋板P不發生碰撞，也就是說B以速度v_B′從C的中央滑動到擋板P處時，B與C（包括A）的速度變為相同，設為v₂，由動量守恒定律得，
mv₀′=3mv₂       ①
A以初速度v₀′沖上C，與B發生碰撞后，A、C相對靜止，B到達P處這一過程中，A、B和C組成的系統相互作用的功能關系有：

1

2

mv0′2-

1

2

(3m)v22=2μmgL     ②
由①②兩式可得v0′=

6μgL

由第（1）問知，v0′=

3

v₀．
物塊B與P能相碰的條件是v0′＞

3

v₀．
答：（1）A、C之間的動摩擦因數μ=

v02

2gL

．
（2）a．要使物塊A與B能相碰，初速度v'₀應滿足的條件是v0′＞

6

2

v0．
b、要使物塊B能夠與擋板P發生碰撞，初速度v'₀應滿足的條件是v0′＞

3

v₀．

點評：本題綜合考查了動能定理、動量守恒定律和能量守恒定律，綜合性強，對學生的能力要求較高，關鍵需理清過程，抓住臨界狀態，運用合適的規律進行求解．