Question

如圖所示，一不可伸長的輕質細繩，繩長為L一端固定于O點，另一端系一質量為m的小球，小球繞O點在豎直平面內做圓周運動（不計空氣助力），小球通過最低點時的速度為v．
（1）求小球通過最低點時，繩對小球拉力F的大�。�
（2）若小球運動到最低點或最高點時，繩突然斷開，兩種情況下小球從拋出到落地水平位移大小相等，求O點距地面的高度h；
（3）在（2）中所述情況下試證明O點距離地面高度h與繩長l之間應滿足
h≥

3

2

l．

Answer 1

分析：（1）小球通過最低點時，繩對小球拉力F和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求拉力F；
（2）若小球運動到圓心最低點時，繩突然斷開，小球落地前將做平拋運動，根據機械能守恒定律求落地時小球速度．
（3）小球運動到最高點時向心力最小值為mg，根據牛頓第二定律求得小球到達最高點的最小速度，從最高點到最低點，運用機械能守恒列式即可證明．

解答：解：（1）根據向心力公式 F-mg=m

v2

L

 有：F=mg+m

v2

L

；
（2）小球運動到最低點，繩突然斷開后小球做平拋運動時間為t，
則 h-L=

1

2

gt2，
   x=vt
設運動到最高點速度為v′，由機械能守恒得：
  2mgL+

1

2

mv′2=

1

2

mv2
小球運動到最高點繩斷開后小球做平拋運動時間為t′，
則 h+L=

1

2

gt′2，
  x′=v′t′
又 x=x′
聯立上述各式解得：h=

v2

2g

-L
（3）小球運動到最高點時向心力最小值為mg，則有：mg≤m

v′2

L

所以 v′≥

gL

那么由機械能守恒定律：
 2mgL+

1

2

mv′2=

1

2

mv2
小球運動到最低點時速度有 v≥

5gL

故由（2）問結果 h=

v2

2g

-L≥

5gL

2g

-L=

3

2

L，即h≥

3

2

L．得證．
答：（1）小球通過最低點時，繩對小球拉力F的大小為mg+m

v2

L

；（2）O點距地面的高度h為

v2

2g

-L；（3）證明O點距離地面高度h與繩長l之間應滿足h≥

3

2

L見上．

點評：本題是圓周運動與平拋運動的綜合，運用牛頓運動定律和機械能守恒結合進行研究，對于平拋運動，也可以運用分解的方法求小球落地速度．