Question

如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上一輕彈簧a、b被兩小球夾住，同時釋放兩小球，a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點，求：
①兩小球的質量比．
②若m_a=m_b=m，要求a，b都能通過各自的最高點，彈簧釋放前至少具有多少彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律得出最高點的速度，根據機械能守恒定律列出等式求解
（2）由動量守恒定律得出速度關系，根據機械能守恒定律求解．

解答：解：（1）根據牛頓第二定律得a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點的速度分別為：
v′_a=

gR

…①
v′_b=

gr

…②
由動量守恒定律m_av_a=m_bv_b…③
根據機械能守恒定律得

1

2

mav

2 a

=

1

2

mav′

2 a

+m_ag?2R…④

1

2

mbv

2 b

=

1

2

mbv′

2 b

+m_bg?2r…⑤
聯立①②③④⑤得

ma

mb

=

r R

 
（2）若m_a=m_b=m，由動量守恒定律得：v_a=v_b=v
當a、b球恰好能通過圓軌道的最高點時，E_彈最小，
根據機械能守恒得：
E_p=（

1

2

m(

gR

  )2+mg?2R）×2=5mgR
答：①兩小球的質量比是

r R

．
②若m_a=m_b=m，要求a，b都能通過各自的最高點，彈簧釋放前至少具有5mgR彈性勢能．

點評：解決該題關鍵能判斷出小球能通過最高點的條件，然后根據動量守恒定律和機械能守恒定律聯立列式求解．