Question

如圖所示，靜止在光滑水平面上的平板車，質量為m₃=2kg，右端固定一自然伸長狀態的輕彈簧，彈簧所在位置的車表面光滑，車左端和彈簧左端之間距離為L=0.75m，這部分車表面粗植，質量為m₂=1kg的小物塊Q，靜止在平板車的左端．一不可伸長的輕質細繩長為R=2.5m，一端固定于Q正上方距Q為R處，另一端系一質量為m₁=O.5kg的小球，將小球拉至懸線與豎直方向成60°角位置，由靜止釋放，小球到達最低點時與Q碰撞，時間極短，碰撞后小球反彈速度v₀=lm/s，一段時間后Q恰好返回平板車左端靜止．取g=10m/s²．求：
（1）小球在最低點與Q碰撞后瞬間，小物塊Q的速度v₂是多大？
（2）小物塊Q受到的滑動摩擦力f是多大？
（3 ）小物塊Q壓縮彈簧的過程中，彈簧彈性勢能的最大值Ep是多大？

Answer 1

分析：（1）小球下擺過程中，細線拉力不做功，只有重力做功，機械能守恒；小球與小物塊碰撞過程，時間極短，內力遠大于外力，動量守恒；
（2）小物塊P與小車系統受到的外力的合力為零，系統動量守恒；根據功能關系，系統減小的機械能等于產生的內能，而內能等于滑動摩擦力與相對路程的乘積；
（3）小物塊P與小車系統受到的外力的合力為零，系統動量守恒；根據功能關系，系統減小的機械能等于產生的內能和彈簧的勢能之和．

解答：解：（1）設小球到達最低點與Q碰撞前速度大小為v₁，則
根據機械能守恒定律，有
m₁gR（1-cos60°）=

1

2

m₁v₁²
根據動量守恒定律，有
m₁v₁=m₂v₂-m₁v₀ 
由以上兩式，解得
v₂=3m/s
即小球在最低點與Q碰撞后瞬間，小物塊Q的速度v₂是3m/s．
（2）設Q恰好返回平板車左端時，Q與平板車的共同速度為v₃，則
根據動量守恒定律，有
m₂v₂=（m₂+m₃）v₃
解得
v₃=1m/s
根據功能關系，有

1

2

m₂v₂²=

1

2

（m₂+m₃）v₃²+2fL
解得f=2N
即小物塊Q受到的滑動摩擦力f是2N．
（3）小物塊Q壓縮彈簧的過程中，Q與平板車的速度相等時，彈簧彈性勢能最大，設速度為v₄，則
根據動量守恒定律，有
m₂v₂=（m₂+m₃）v₄
根據功能關系，有

1

2

m₂v₂²=

1

2

（m₂+m₃）v₄²+fL+E_p
解得E_p=1.5 J
即彈簧彈性勢能的最大值E_p是1.5J．

點評：本題關鍵明確各個運動過程，明確小球與小物塊碰撞過程中系統動量守恒，小物塊與滑板作用過程中系統動量守恒，同時要明確機械能的轉化與轉移情況，明確一對滑動摩擦力做的功等于產生的內能．