Question

在水平地面上方的足夠大的真空室內存在著勻強電場和勻強磁場共存的區域，且電場與磁場的方向始終平行，在距離水平地面的某一高度處，有一個帶電量為q、質量為m的帶負電的質點，以垂直于電場方向的水平初速度v₀進入該真空室內，取重力加速度為g．求：
（1）若要使帶電質點進入真空室后做半徑為R的勻速圓周運動，求磁感應強度B₀的大小及所有可能的方向；
（2）當磁感應強度的大小變為B時，為保證帶電質點進入真空室后做勻速直線運動，求此時電場強度E的大小和方向應滿足的條件；
（3）若帶電質點在滿足第（2）問條件下運動到空中某一位置M點時立即撤去磁場，此后運動到空中另一位置N點時的速度大小為v，求M、N兩點間的豎直高度H及經過N點時重力做功的功率．

Answer 1

分析：（1）帶電質點在電場與磁場中做勻速圓周運動，則電場力與重力相平衡，而洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求解．
（2）根據質點做勻速直線運動，質點受力平衡，從而依據幾何關系可求出電場強度大小及其方向；
（3）當撤去磁場后，帶電質點只受電場力和重力作用，在這個過程中電場力不做功，由機械能守恒定律可求出M、N兩點間的豎直高度H；由質點做類平拋運動將其速度分解與功率表達式相結合，從而確定經過N點時重力做功的功率．

解答：解：（1）由于帶電質點在勻強電場E₀和勻強磁場B₀共存的區域做勻速圓周運動，
所以受到的電場力必定與重力平衡，
即      qE₀=mg                        
根據牛頓第二定律和向心力公式
   qv0B0=m

v 2 0

R

                           
解得     B0=

mv0

qR

            
磁感應強度B₀為豎直向上或豎直向下．
（2）磁場B和電場E方向相同時，如答圖1甲所示；磁場B和電場E方向相反時，如答圖1乙所示．
由于帶電質點做勻速直線運動，由平衡條件和幾何關系可知
(qv0B)2+(qE)2=(mg)2
解得                             E=

(mg)2-(qv0B)2

q

              
圖中的θ角為                  θ=arcsin

qv0B

mg

                      
即電場E的方向為沿與重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

且斜向下的一切方向，
或θ=arctan

qv0B

qE

=

qv0B

(mg)2-(qv0B)2

，且斜向下方的一切方向．               
（3）當撤去磁場后，帶電質點只受電場力和重力作用，這兩個力的合力大小為qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直電場E的方向．
設空中M、N兩點間的豎直高度為H，因電場力在這個過程中不做功，則由機械能守恒定律得

1

2

m v²=mgH+

1

2

m v₀²                      
解得     H=

v2- v 2 0

2g

                          
因帶電質點做類平拋運動，由速度的分解可求得帶電質點到達N點時沿合力方向的分速度大小為                  
  v_N=

v2- v 2 0

                          
又因電場力在這個過程中不做功，帶電質點到達N點時，重力做功的功率等于合外力在此時的瞬時功率，
解得  P_N=qv₀Bv_N=qv0B

v2- v 2 0

   
答：（1）若要使帶電質點進入真空室后做半徑為R的勻速圓周運動，則磁感應強度B₀的大小

mv0

qR

及所有可能的方向為豎直向上或豎直向下；
（2）當磁感應強度的大小變為B時，為保證帶電質點進入真空室后做勻速直線運動，則此時電場強度E的大小 E=

(mg)2-(qv0B)2

q

       方向應滿足的條件為電場E的方向為沿與重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

且斜向下的一切方向，或θ=arctan

qv0B

qE

=

qv0B

(mg)2-(qv0B)2

，且斜向下方的一切方向．      
（3）若帶電質點在滿足第（2）問條件下運動到空中某一位置M點時立即撤去磁場，此后運動到空中另一位置N點時的速度大小為v，則M、N兩點間的豎直高度H及經過N點時重力做功的功率為=qv0B

v2- v 2 0

．

點評：考查洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動的處理方法，由洛倫茲、電場力與重力相平衡，結合幾何關系來綜合求解；同時還考查機械能守恒定律，及類平拋運動規律，并運用功率的表達式來求解．