Question

在水平地面上方的足夠大的真空室內存在著勻強電場和勻強磁場共存的區域，且電場與磁場的方向始終平行，在距離水平地面的某一高度處，有一個帶電量為q、質量為m的帶負電的質點，以垂直于電場方向的水平初速度v₀進入該真空室內，取重力加速度為g。求：
（1）若要使帶電質點進入真空室后做半徑為R的勻速圓周運動，求磁感應強度B₀的大小及所有可能的方向；
（2）當磁感應強度的大小變為B時，為保證帶電質點進入真空室后做勻速直線運動，求此時電場強度E的大小和方向應滿足的條件；
（3）若帶電質點在滿足第（2）問條件下運動到空中某一位置M點時立即撤去磁場，此后運動到空中另一位置N點時的速度大小為v，求M、N兩點間的豎直高度H及經過N點時重力做功的功率。

Answer 1

解：（1）由于帶電質點在勻強電場E₀和勻強磁場B₀共存的區域做勻速圓周運動，所以受到的電場力必定與重力平衡，即qE₀=mg
根據牛頓第二定律和向心力公式
解得，磁感應強度B₀為豎直向上或豎直向下
（2）①當帶電粒子垂直紙面向外運動時，（正對紙面看）如圖甲，此時磁場B和電場E方向相同，如圖甲所示

由于帶電質點做勻速直線運動，由平衡條件和幾何關系可知
解得
圖中的θ角為
即電場E的方向為沿與重力方向夾角且斜向下的一切方向，或，且斜向下方的一切方向（豎直方向為軸旋轉一周，B和E存在的所有方向可圍成圓錐面）
②當粒子速度方向垂直紙面向里（正對紙面看）如圖乙，只需要磁場反向（電場磁場方向相反）即可。大小和方向結果不變（豎直方向為軸旋轉一周，B和E存在的所有方向可圍成圓錐面）

（3）當撤去磁場后，帶電質點只受電場力和重力作用，這兩個力的合力大小為qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直電場E的方向
設空中M、N兩點間的豎直高度為H，因電場力在這個過程中不做功，則由機械能守恒定律得
mv²=mgH+mv₀²，解得
因帶電質點做類平拋運動，由速度的分解可求得帶電質點到達N點時沿合力方向的分速度大小為v_N=
又因電場力在這個過程中不做功，帶電質點到達N點時，重力做功的功率等于合外力在此時的瞬時功率，解得PN=qv₀Bv_N=