Question

如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬球，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B．現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，高平行軌道中夠長．已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂．
（1）求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小．
（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂．
（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導體棒ab剛進入磁場II時速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）導體棒受到重力和安培力的作用，注意此時導體棒的有效切割長度和外電路的串并聯情況．
（2）導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，說明導體棒勻速運動，導體棒在下落h的過程中做勻變速直線運動，根據運動規律可求出下落距離h，根據并聯電路可知R₂上消耗的功率占整個電路的，總電功率等于導體棒重力功率．
（3）正確進行受力分析，注意安培力的表達式，然后根據牛頓第二定律求解即可．
解答：解：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得：
mg-BIL=ma，式中，
式中：=4R
由以上各式可得到：
故導體棒ab從A下落時的加速度大小為：．
（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即：
式中：
解得：
導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有v_t²-v₂²=2gh，
得：，
此時導體棒重力的功率為：，
根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，即P_電=P₁+P₂=P_G=，
所以，=，
故磁場I和II之間的距離，和R₂上的電功率．
（3）設導體棒ab進入磁場II后經過時間t的速度大小為v'_t，此時安培力大小為：
由于導體棒ab做勻加速直線運動，有v'_t=v₃+at
根據牛頓第二定律，有
F+mg-F′=ma
即：
由以上各式解得：
故所加外力F隨時間變化的關系式為：．
點評：本題考查了關于電磁感應的復雜問題，對于這類問題一定要做好電流、安培力、運動情況、功能關系這四個方面的問題分析．