Question

如圖所示，一輕彈簧豎直放置在地面上，輕彈簧下端與地面固定，上端連接一質(zhì)量為M的水平鋼板，處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)有一質(zhì)量為 m 的小球從距鋼板 h=5m的高處自由下落并與鋼板發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短且無(wú)機(jī)械能損失．己知 M=3m，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²．
（ l ）求小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，小球的速度 v₁和鋼板的速度 v₂．
（ 2 ）如果鋼板作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為 2.0s，以小球自由下落的瞬間為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，以向下方向?yàn)檎�方向，在下圖中畫出小球的速度 v 隨時(shí)間 t 變化的v-t 圖線．要求至少畫出小球與鋼板發(fā)生四次碰撞之前的圖線．（不要求寫出計(jì)算過(guò)程，只按畫出的圖線給分）

Answer 1

分析：（1）小球與鋼板的碰撞時(shí)間且無(wú)機(jī)械能損失，是彈性碰撞，兩者的動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，根據(jù)兩大守恒定律列式，可求得第一次碰撞后瞬間小球的速度v₁和鋼板的速度v₂．
（2）根據(jù)第一次碰后，根據(jù)速度知道小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，求出上拋運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，分析此時(shí)間與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系，結(jié)合彈性碰撞的規(guī)律，分析此后小球的運(yùn)動(dòng)情況，作出v-t圖象．

解答：解：（1）設(shè)小球與鋼板第一次碰撞前瞬時(shí)的速度大小v₀，小球與鋼板第一次碰撞后，小球與鋼板的速度分別為v₁和v₂．取豎直向下方向?yàn)檎�方向�?br />由機(jī)械能守恒得：mgh=

1

2

mv

2 0

，解得，v₀=

2gh

=10m/s
對(duì)于碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
   mv₀=mv₁+Mv₂ ①
  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

 ②
又M=3m  ③
聯(lián)立①②③得：v₁=-5m/s，v₂=5m/s，即小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁為 5m/s，方向向上；鋼板的速度v₂為 5m/s 方向向下．
（ 2 ）由上知，第一碰撞后小球作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，總時(shí)間為t₁=

2v1

g

=1s，而鋼板作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T=2.0s，所以兩者會(huì)在第一碰撞位置發(fā)生第二碰撞．
設(shè)第二次碰撞后，小球與鋼板的速度分別為v₁′和v₂′．
由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
   mv₁-Mv₂=mv₁′+Mv₂ ′
  

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

=

1

2

m

v

′2 1

+

1

2

M

v

′2 2

又M=3m
聯(lián)立以上三式解得，v₁′=-10m/s，v₂′=0．
此后小球豎直上拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t₂=

2v′

g

=2s=T，恰好經(jīng)過(guò)2s后發(fā)生第三次碰撞，第三次碰撞與第一次碰撞相同．畫出小球的v-t圖線如下圖所示（小球與鋼板第二次碰撞后，小球的速度為 10m/s，方向向上；鋼板的速度為零）

答：
（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁為 5m/s，方向向上；鋼板的速度v₂為 5m/s 方向向下．
（2）小球的v-t圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題是含有彈性碰撞的復(fù)雜物理過(guò)程，分析每個(gè)過(guò)程遵守的物理規(guī)律是關(guān)鍵，抓住彈性碰撞的基本規(guī)律動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求碰后速度，結(jié)合豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行分析和研究，綜合性很強(qiáng)．