Question

如圖所示，在豎直平面內固定兩個很靠近的同心圓形軌道，外軌道ABCD光滑，內軌道A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑，一質量m=0.2kg的小球從軌道的最低點A，以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于兩圓間距，已知圓形軌道的半徑R=0.32m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為多少
（2）若v₀=3.8m/s，經過一段時間小球到達最高點，內軌道對小球的支持力F=2N，則小球在這段時間內克服摩擦力做的功是多少
（3）若v₀=3.9m/s，經過足夠長的時間后，小球將在BAD間做往復運動，則小球經過最低點A時受到的支持力為多少？小球在整個運動過程中減少的機械能是多少．

Answer 1

分析：（1）緊貼外圓做圓周運動，在最高點的臨界情況是重力提供向心力，根據牛頓第二定律結合機械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據牛頓第二定律求出最高點的速度大小，根據動能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）經足夠長時間后，小球在下半圓軌道內做往復運動，根據動能定理和牛頓第二定律求出最低點小球所受的支持力大小，根據能量守恒求出損失的機械能．

解答：解：（1）設此情形下小球到達最高點的最小速度為v_C，則有mg=

m v 2 c

R

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 c

+2mgR
代入數據解得：v₀=4m/s．
（2）設此時小球到達最高點的速度為v_c′，克服摩擦力做的功為W，則：
mg-N=

m v 2 C

R

；
-2mgR-W=

1

2

mvc′2-

1

2

m

v

2 0

代入數據解得 W=0.164J．
（3）經足夠長時間后，小球在下半圓軌道內做往復運動，設小球經過最低點的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有：
mgR=

1

2

m

v

2 A

NA-mg=

m v 2 A

R

代入數據解得  N_A=6N．
設小球在整個運動過程中減少的機械能為△E，由功能關系有△E=

1

2

m

v

2 0

-mgR
代入數據解得△E=0.881J．
答：（1）要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為4m/s．
（2）小球在這段時間內克服摩擦力做的功是0.164J．
（3）小球經過最低點A時受到的支持力為6N，小球在整個運動過程中減少的機械能是0.881J．

點評：本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和機械能守恒定律，綜合性較強，關鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態，運用合適的規律進行求解