Question

據報道：“嫦娥一號”在2007年10月下旬發射，嫦娥一號”將在距離月球高為h處繞月球做勻速圓周運動，地球表面重力加速度為g=9.8m/s²．若h等于月球半徑r，地球半徑為R=6400km，且R：r=3.6：1，地球質量為M與月球質量之比為M：m=81：1，求：
（1）“嫦娥一號”繞月球做勻速圓周運動的周期T．（保留兩位有效數字）
（2）求月球的第一宇宙速度v．（保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：（1）由萬有引力提供向心力的周期公式，可以得到周期的數值
（2）第一宇宙速度對應軌道半徑為月球的半徑，由萬有引力提供向心力的速度公式，帶入數據可以得到速度

解答：解：（1）對嫦娥一號，由萬有引力提供向心力：
G

mm′

(2r)2

=m′(2r)

4π2

T2

解得：T=2π

8r3 GmT2

又由黃金代換：GM=R²g
解得：T=2π

8Mr3 gmR2T2

代入數據解得：T=1.9×10⁴ s            
（2）由萬有引力提供向心力：
G

mm′

r2

=m′

v2

r

解得：v=

Gm r

=

gR2m Mr

代入數據得 v=1.7km/s             
答：（1）“嫦娥一號”繞月球做勻速圓周運動的周期T=1.9×10⁴ s  
（2）求月球的第一宇宙速度v=1.7km/s

點評：本題是簡單的萬有引力定律的應用，只是在帶入數值的時候，這是大數量級的計算，應避免在數量級上出錯．