Question

如圖所示，光滑水平面上有一質量M=4.0kg的帶有圓弧軌道的平板車，車的上表面是一段長L=1.5m的粗糙水平軌道，水平軌道左側連一半徑R=0.25m 的四分之一光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在O'點相切．現將一質量m=1.0kg的小物塊（可視為質點）從平板車的右端以水平向左的初速度v₀滑上平板車，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.5．小物塊恰能到達圓弧軌道的最高點A．取g=10m/s²，求：
（1）小物塊滑上平板車的初速度v₀的大小．
（2）小物塊與車最終相對靜止時，它距O'點的距離．
（3）若要使小物塊最終能到達小車的最右端，則v₀要增大到多大？﹙取三位有效數字﹚

Answer 1

分析：（1）平板車和小物塊組成的系統水平方向動量守恒，由動量守恒和能量守恒求解
（2）從小物塊滑上平板車，到二者相對靜止的過程中，由動量守恒列式，由能量守恒求解．
（3）小滑塊最終能到達小車的最右端，由動量守恒和能量守恒求解．

解答：解：（1）平板車和小物塊組成的系統水平方向動量守恒，設小物塊到達圓弧最高點A時，二者的共同速度v₁，
由動量守恒得mv₀=（M+m）v₁①
由能量守恒得：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 1

=mgR+μmgL②
聯立①②并代入數據解得v₀=5m/s③
（2）設小物塊最終與車相對靜止時，二者的共同速度v₂，從小物塊滑上平板車，到二者相對靜止的過程中，
由動量守恒得mv₀=（M+m）v₂④
設小物塊與車最終相對靜止時，它距O′點的距離為x．
由能量守恒得：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 2

=μmg(L+x)⑤
聯立③④⑤并代入數據解得x=0.5m⑥
（3）設小滑塊最終能到達小車的最右端，v₀要增大到v₀₁，小滑塊最終能到達小車的最右端時的速度為v₃，
與（2）同理得mv₀₁=（M+m）v₃⑦

1

2

m

v

2 01

-

1

2

(M+m)

v

2 3

=2μmgL⑧
聯立⑦⑧并代入數據解得：V₀₁=6.12m/s  
答：（1）小物塊滑上平板車的初速度v₀的大小是5m/s．
（2）小物塊與車最終相對靜止時，它距O'點的距離是0.5m．
（3）若要使小物塊最終能到達小車的最右端，則v₀要增大到6.12m/s．

點評：本題是系統水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據能量守恒研究．