Question

（2011?滄州一模）如圖所示的坐標系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內，既無電場也無磁場，第三象限，存在沿y軸正方向的勻強電場和垂直xy平面（紙面）向里的勻強磁場，在第四象限，存在沿y軸負方向、場強大小與第三象限電場場強相等的勻強電場．一質量為m、電量為q的帶電質點，從y軸上y=h處的P₁點以一定的水平初速度沿x軸負方向進入第二象限．然后經過x軸上x=-2h處的P₂點進入第三象限，帶電質點恰好能做勻速圓周運動，之后經過y軸上y=-2h處的P₃點進入第四象限．已知重力加速度為g．求：
（1）粒子到達P₂點時速度的大小和方向；
（2）第三象限空間中電場強度和磁感應強度的大小；
（3）帶電質點在第四象限空間運動過程中最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先做平拋運動，將運動分解成水平方向勻速直線運動與豎直方向自由落體運動，從而求出粒子到達P₂點時速度的大小和方向；
（2）當帶電粒子進入電場、磁場與重力場中時，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運動，由平衡可得出電場強度大小，再幾何關系可求出磁感應強度大小．
（3）粒子最后粒子進入電場與重力場中時，做類斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻減速直線運動．當豎直方向的速度減小到0．此時質點速度最小，根據速度的分解求出最小速度．

解答：解：（1）質點從P₁到P₂，由平拋運動規律得
  h=

1

2

gt2，得t=

2h g

  則2h=v₀t，得v₀=

2h

t

=

2gh

    v_y=gt=

2gh

故粒子到達P₂點時速度的大小為v=

v 2 0 + v 2 y

=2

gh

，方向與x軸負方向成45°角．
（2）質點從P₂到P₃，重力與電場力平衡，洛侖茲力提供向心力Eq=mg，
且有qvB=m

v2

R

根據幾何知識得：（2R）²=（2h）²+（2h）²，
解得 E=

mg

q

，B=

m

q

2g h

（3）質點進入第四象限，做類斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻減速直線運動．當豎直方向的速度減小到0．此時質點速度最小，且等于v在水平方向的分量
則  v_min=vcos45°=

2gh

，方向沿x軸正方向．
答：（1）粒子到達P₂點時速度的大小是2

gh

，方向與x軸負方向成45°角．
（2）第三象限空間中電場強度是

mg

q

，磁感應強度的大小是

m

q

2g h

；
（3）帶電質點在第四象限空間運動過程中最小速度的大小是

2gh

，方向沿x軸正方向．

點評：本題考查帶電粒子在場中三種運動模型：勻速圓周運動、平拋運動和類斜拋運動，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，應用數學知識解決物理問題的能力．