Question

圖（a）所示的裝置中，小物塊AB質量均為m，水平面上PQ段長為l，與物塊間的動摩擦因數為μ，其余段光滑．初始時，擋板上的輕質彈簧處于原長；長為r的連桿位于圖中虛線位置；A緊靠滑桿（AB間距大于2r）．隨后，連桿以角速度ω勻速轉動，帶動滑桿做水平運動，滑桿的速度-時間圖象如圖（b）所示．A在滑桿推動下運動，并在脫離滑桿后與靜止的B發生完全非彈性碰撞．

（1）求A脫離滑桿時的速度v₀，及A與B碰撞過程的機械能損失△E．
（2）如果AB不能與彈簧相碰，設AB從P點到運動停止所用的時間為t₁，求ω的取值范圍，及t₁與ω的關系式．
（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點左側，設每次壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為E_p，求ω的取值范圍，及E_p與ω的關系式（彈簧始終在彈性限度內）．

Answer 1

分析：（1）滑桿達到最大速度時A與其脫離，則v₀=ωr，碰撞過程中動量守恒，根據動量守恒定律求出碰撞后的速度，碰撞過程中的機械能損失等于初動能減去末動能；
（2）若AB不與彈簧相碰，P到Q過程，由動能定理即可求解AB運動到Q點的連桿角速度，進而求出范圍，再由運動學基本公式求解時間；
（3）若AB壓縮彈簧后反彈，由動能定理聯立方程即可求得AB剛好反彈回P點的連桿角速度，進而求出范圍，再由功能關系即可求解．

解答：（1）滑桿達到最大速度時A與其脫離．由題意，得：
v₀=ωr…①
設AB碰撞后的共同速度為v₁，由動量守恒定律
mv₀=2mv₁…②
碰撞過程中的機械能損失為
△E=

1

2

mv02-

1

2

（2m）v₁²…③
△E=

1

4

mω²r²…④
（2）若AB不與彈簧相碰，P到Q過程，由動能定理，得
μ（2m）gl=

1

2

（2m）v₁²…⑤
聯立①②⑤，得對應AB運動到Q點的連桿角速度ω₁
ω₁=

2 2μgl

r

…⑥
ω的取值范圍：0＜ω≤

2 2μgl

r

…⑦
設AB在PQ段加速度大小為a，由運動學規律，得：
v₁=at₁…⑧
μ（2m）g=2ma…⑨
聯立①②⑧⑨，得：
t₁=

ωr

2μg

，（0＜ω≤

2 2μgl

r

）
（3）若AB壓縮彈簧后反彈，由動能定理，得：
μ（2m）g（l+l）=

1

2

（2m）v₁²
聯立①②，得對應AB剛好反彈回P點的連桿角速度ω₂
ω₂=

4 μgl

r

ω的取值范圍：

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

由功能關系：E_p=

1

2

（2m）v₁²-μ（2m）gl
得：E_p=

1

4

mω²r²-2μmgl，（

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

）
答：（1）A脫離滑桿時的速度為ωr，A與B碰撞過程的機械能損失△E為=

1

4

mω²r²．
（2）如果AB不能與彈簧相碰，設AB從P點到運動停止所用的時間為t₁，ω的取值范圍為0＜ω≤

2 2μgl

r

，t₁與ω的關系式為t₁=

ωr

2μg

，（0＜ω≤

2 2μgl

r

）．
（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點左側，設每次壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為E_p，ω的取值范圍為

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

，E_p與ω的關系式為E_p=

1

4

mω²r²-2μmgl，（

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

）（彈簧始終在彈性限度內）．

點評：本題主要考查了動能定理、功能關系、動量守恒定律及運動學基本公式的應用，計算量大，難度很大．