Question

過山車是游樂場中常見的設施．某校物理興趣小組自制過山車的簡易模型，如圖所示，它由水平軌道和在豎直平面內的圓形軌道組成，B、C分別是二個圓形軌道的最低點，半徑分別是R₁=2.0m、R₂=1.4M，DE段是一半徑為R₃=1.0m的四分之一光滑圓弧軌道，它與水平軌道平滑連接，D點為圓弧的最高點，一個質量為M=1.0kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以V₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0m．C、D間距S=15.0m，小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，試求：
（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應是多少；
（3）如果小球從第二圓形軌道運動到水平軌道的D點時，能否沿DE圓弧軌道滑下？若不能請說明理由．

Answer 1

分析：對小球的運動過程進行分析．運用動能定理求出小球經過第一個圓軌道的最高點時的速度，再對小球在第一個圓軌道的最高點進行受力分析，并利用牛頓第二定律求出軌道對小球作用力．知道小球恰能通過圓形軌道的含義，并能找出在第二圓形軌道的最高點速度．運用動能定理研究某一運動過程求出B、C間距L．

解答：解：（1）設小球經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據動能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀² …①
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律有：
F+mg=m

mv 2 1

R1

… ②
由 ①、②得：F=10.0 N…  ③
（2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由小球恰能通過第二圓形軌道有：
mg=m

mv 2 2

R2

…④
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₀²…⑤
由④、⑤得：L=12.5m…⑥
（3）不能，
設小球運動到D點時速度為v_D根據動能定理可得：
-μmg（L₁+L+S）=

1

2

mv_D²-

1

2

mv₀² ①
 可得v_D²=10，在D點恰好通過
mg=

mv 2 D

R3

則物體對水平面D點無壓力N=0，由此物體只受重力作用，以V_D水平速度平拋．
答：（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小是10.0 N；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應是12.5m 
（3）如果小球從第二圓形軌道運動到水平軌道的D點時，不能沿DE圓弧軌道滑．

點評：選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．