Question

過山車是游樂場中常見的沒施．圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的兩個圓形軌道組成，C、D分別是兩個圓形軌道的最低點，A、C間距與C、D問距相等，半徑R₁=1.4m．一個質量為m=1.0kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以v0=2

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m/s的初速度沿軌道向右運動．小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設水平軌道足夠長，圓形軌道問不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計算結果保留小數點后一位數字．試求：
（1）如果小球恰能通過第一個圓形軌道，A、C間距L應是多少；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個圓形軌道的設計中，半徑R₂應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過第一圓形軌道時，在軌道的最高點時由重力提供向心力，根據牛頓第二定律可求出小球經過最高點時的速度．對于小球從A點到第一圓形軌道最高點過程，運用動能定理列式，求解AB間距L₁．
（2）要保證小球不脫離軌道，有兩種情況：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第二個圓軌道，與上題相似，根據牛頓第二定律求出小球通過最高點時的速度，根據動能定理求解半徑R₂．
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到與圓心等高處，根據動能定理求解半徑R₂．
為保證圓形軌道間不相互重疊，根據幾何知識知：R₂最大值應滿足（R1+R2）2=L²+（R1-R2）2，解得R₂．即可得到半徑R₂的可變范圍；

解答：解：（1）設小球恰能通過第一個圓軌道的最高點時速度為v₁，根據動能定理
-μmgL-2mgR₁=

1

2

mv12-

1

2

mv02 ①
最高點時：mg=m

v12

R1

  ②
由①②得：L=12.5m ③
（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第二個圓軌道，設在最高點的速度為v₂，應滿足
      mg=m

v22

R2

 ④
-μmg2L-2mgR₂=

1

2

mv22-

1

2

mv02 ⑤
由③④⑤得：R₂=0.4m   ⑥
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₂′，即上升到與圓心等高的位置，
根據動能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂′=0-

1

2

mv02
解得：R₂′=1.0m   ⑦
為了保證圓軌道不重疊，R₂最大值應滿足(R1+R2′)2=L²+（(R2′-R1′)2
解得 R₂=27.9m    ⑧
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第二個圓軌道的半徑須滿足下面的條件
  0＜R₂≤0.4m 或   1.0m≤R₂≤27.9m             
答：（1）如果小球恰能通過第一圓形軌道，AB間距L₁應是12.5m；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個圓形軌道的設計中，半徑R₂的可變范圍為 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；

點評：選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．