Question

如圖所示，在水平桌面上放有長木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端和中點處各放有小物塊A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計，A、B之間和B、P之間的距離皆為L．設木板C與桌面之間無摩擦，A、C之間和B、C之間的靜摩擦因數及滑動摩擦因數均為μ；A、B、C（連同擋板P）的質量相同．開始時，B和C靜止，A以某一初速度向右運動．試問下列情況是否能發生？要求定量求出能發生這些情況時物塊A的初速度v₀應滿足的條件，或定量說明不能發生的理由．
（1）物塊A與B發生碰撞；
（2）物塊A與B發生碰撞（設為彈性碰撞，碰后交換速度）后，物塊B與擋板P發生碰撞；
（3）物塊B與擋板P發生碰撞（設為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上再發生碰撞？

Answer 1

分析：開始過程是A與C相互作用，此時可假設B與C相對靜止，再通過計算假設正確，再根據動量守恒定律求出速度，再結合能量守恒定律求出它們發生的位移，從而找出與B發生碰撞的條件，其它情況的求法類似．

解答：解：（1）以m表示物塊A、B和木板C的質量，當物塊A以初速度v₀向右運動時，A將受到木板施加的向左的大小為μmg的滑動摩擦力而減速，即B、C之間無相對運動，木板C則受到物塊A施加的大小為μmg的滑動摩擦力和物塊B一起做加速運動，設A、B、C三者的加速度分別為a₁a₂，則由牛頓第二定律，
有μmg=ma₁，μmg=2ma₂．
若物塊A剛好與物塊B不發生碰撞，則物塊A運動到物塊B所在處時，A與B的速度大小相等．因物塊B與木板C速度相等，所以此時三者速度均相同，設為v₁，
由動量守恒定律得mv₀=3m?v₁，
在此過程中，設木板C運動的路程為s₁，則物塊A的路程為s₂=s₁+L，如圖所示，

由動能定理得
對A有

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=-μmgs2      
對C與B有

1

2

?2m

v

2 1

=μmgs1             
聯立以上各式，解得：v0=

3mgL

A與B發生碰撞，故A與B發生碰撞的條件是v0＞

3mgL

       ①．
（2）當物塊A的初速度v₀滿足①式時，A與B將發生碰撞，設碰撞的瞬間，A、B、C三者的速度分別為v_A、v_B、v_C，則有v_A＞v_B=v_C      
在物塊A、B發生碰撞的極短時間內，木板C對它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計．故在碰撞過程中，A與B構成的系統動量守恒，而木板C的速度保持不變，因為物塊A、B間的碰撞是彈性的，系統的機械能守恒，又因為質量相等，由動量守恒和機械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后A、B交換速度，若碰撞剛結束時，物塊A與木板C速度相等，保持相對靜止，B相對AC向右運動，以后發生的過程相當于第1問中所進行的延續，由物塊B代替A繼續向右運動．
若物塊B剛好與擋板P不發生碰撞，則物塊B以速v_B′=v_A從C板的中點運動到擋板P所在處時與C的速度相等．A與C的速度大小是相等的，A、B、C三者的速度相等，設此時三者的速度v₂，根據動量守恒定律有mv₀=3mv₂
A以初速度v₀開始運動，接著與B發生完全彈性碰撞，碰撞后物塊A相對木板C靜止，B到達P所在處這一整個過程中，先是A相對C運動的路程為L，接著是B相對C運動的路程為L，整個系統動能的改變，等于系統內部相互間的滑動摩擦力做功的代數和，即

1

2

(3m)

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

=-mg?2L
解以上兩個公式得   v0=

6μgL

即物塊A的初速度 v0=

6μgL

時，A與B碰撞，但B與P剛好不發生碰撞，
若使 v0＞

6μgL

，就能使B與P發生碰撞，故A與B碰撞后，物塊B與擋板P發生碰撞的條件是v0＞

6μgL

                   
即物塊A與B發生碰撞（設為彈性碰撞）后，物塊B與擋板P發生碰撞的條件是v0＞

6μgL

     ②
（3）若物塊A的初速度v₀滿足條件②式，則在A、B發生碰撞后，B將與擋板P發生碰撞，設在碰撞前瞬間，A、B、C三者的速度分別為v_B″、v_A″、v_C″，
則有v_B″＞v_A″=v_C″
B與P碰撞的過程中，同（2）的分析，B與C交換速度，在以后的運動過程中，木板C以較大的加速度向右做減速運動，而物塊A和B以相同的較小的加速度向右做加速運動，加速度的大小分別為a_A=a_B=μg，ma_C=2μmg       
加速過程將持續到或者A和B與C的速度相同，三者以相同速度

1

3

v0向右做勻速運動，或者木塊A從木板C上掉了下來．由于A與B的初速度和加速度均相等，因此物塊B與A在木板C上不可能再發生碰撞．
即物塊B與擋板P發生碰撞（設為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上不可能再發生碰撞．     
答：（1）物塊A與B發生碰撞的條件是v0＞

3mgL

；
（2）物塊A與B發生碰撞（設為彈性碰撞，碰后交換速度）后，物塊B與擋板P發生碰撞v0＞

6μgL

；
（3）物塊B與擋板P發生碰撞（設為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上不可能再發生碰撞．

點評：解物理題的關鍵是對物理過程的分析，靈活運用假設思想尋找物理模型，然后根據不同過程選用相應的規律求解．