Question

如圖所示，光滑水平面AB與位于豎直面內的半圓形軌道在B點平滑連接，半圓形軌道表面粗糙，半徑為R．一個質量為m的靜止小物塊在A點處壓緊彈簧，彈簧彈開時小物塊在彈力的作用下獲得動能向右運動，當它到達B點進入半圓軌道的瞬間，小物塊對軌道的壓力為其自身重力的7倍，之后沿軌道向上恰能完成圓運動到達C點．求：
（1）彈簧對小物塊的彈力所做的功；
（2）小物塊從B點沿圓軌道至C點的過程中克服阻力所做的功；
（3）小物塊離開C點后落回水平面時距B點的距離．

Answer 1

分析：（1）物塊在B點做圓周運動，由牛頓第二定律可以求出到達B點時的速度，然后由能量守恒定律可以求出彈簧對物塊所做的功；
（2）物體恰能通過最高點，故說明此時重力恰好充當向心力，由向心力公式可得出C點的速度；由動能定理可以求出克服摩擦力所做的功．
（3）物體離開C點后做平拋運動，由平拋運動的規律可求得物體落回到水平面上經過的水平距離．

解答：解：（1）物塊在B點時做圓周運動，
由牛頓第二定律得：F-mg=m

v2

R

  ①，
由牛頓第三定律得：F=F′=7mg  ②，
彈簧對物塊做的功轉化為物塊的動能，
彈簧對物體做的功W=

1

2

mv²=3mgR；
（2）物塊恰能完成圓運動到達C點，
在C點由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 C

R

物塊在C點的速度：v_C=

gR

  ③，
從B到C過程中，由動能定理得：
W_f-mg?2R=

1

2

mv_C²-

1

2

mv²  ④，
由①②③④解得：W_f=-

1

2

mgR，
則克服摩擦力做功

1

2

mgR；
（3）物塊離開C點后做平拋運動，
在豎直方向上：2R=

1

2

gt²，t=

4R g

，
水平方向：x=v_Ct=

gR

×

4R g

=2R；
答：（1）彈簧對小物塊的彈力所做的功為3mgR；（2）小物塊從B點沿圓軌道至C點的過程中克服阻力所做的功為

1

2

mgR；（3）小物塊離開C點后落回水平面時距B點的距離為2R．

點評：本題可分為彈性勢能轉化為動能、動能轉化為重力勢能及平拋三個過程，三個過程中機械能均守恒，正確利用好機械能守恒定律即可正確求解．