Question

如圖所示，兩根不計電阻的金屬導線MN與PQ 放在水平面內，MN是直導線，PQ的PQ₁段是直導線，Q₁Q₂段是弧形導線，Q₂Q₃段是直導線，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行，M、P間接入一個阻值R=0.25Ω的電阻．一根質量為1.0kg不計電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無摩擦地滑動，金屬棒始終垂直于MN，整個裝置處于磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向豎直向下．金屬棒處于位置（I）時，給金屬棒一個向右的速度v₁=4 m/s，同時方向水平向右的外力F₁=3N作用在金屬棒上使金屬棒向右做勻減速直線運動；當金屬棒運動到位置（Ⅱ）時，外力方向不變，大小變為F₂，金屬棒向右做勻速直線運動，經過時間t=2s到達位置（Ⅲ）．金屬棒在位置（I）時，與MN、Q₁Q₂相接觸于a、b兩點，a、b的間距L₁=1 m，金屬棒在位置（Ⅱ）時，棒與MN、Q₁Q₂相接觸于c、d兩點．已知s₁=7.5m．求：
（1）金屬棒向右勻減速運動時的加速度大��？
（2）c、d兩點間的距離L₂=？
（3）外力F₂的大小？
（4）金屬棒從位置（I）運動到位置（Ⅲ）的過程中，電阻R上放出的熱量Q=？

Answer 1

分析：（1）由題，金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過程中，做勻減速運動，加速度不變，根據E=BLv、I=

E

R

、F_安=BIL結合求出金屬棒在位置I時受到的安培力大小，根據牛頓第二定律可求出加速度a．
（2）由運動學公式

v

2 2

-

v

2 1

=2as1求出金屬棒在位置（Ⅱ）時的速度v₂，由于棒做勻減速運動，安培力大小不變，由安培力的表達式F=

B2L2v

R

求解L₂．
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過程中，做勻速直線運動，F₂與安培力大小相等．
（4）金屬棒從位置（I）運動到位置（Ⅲ）的過程中，外力做功提供的能量轉化為棒的動能和內能，根據能量守恒定律求解電阻R上放出的熱量Q．

解答：解：（1）金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過程中，做勻減速運動，加速度不變，方向向左，設大小為a，在位置I時，a、b間的感應電動勢為E₁，感應電流為I₁，受到的安培力為F_安1，則有
   E₁=BL₁v₁，I1=

E1

R

，F_安1=BI1L1=

B2 L 2 1 υ1

R

…①
聯立解得  F_安1=4N…②
根據牛頓第二定律得
  F_安1-F₁=ma…③
代入解得，a=1m/s²…④
（2）設金屬棒在位置（Ⅱ）時速度為v₂，由運動學規律得

υ

2 2

-

υ

2 1

=-2as₁…⑤
解得v₂=1m/s…⑥
由于金屬棒在（I）和（II）之間做勻減速直線運動，即加速度大小保持不變，外力F₁恒定，所以AB棒受到的安培力不變即
  F_安1=F_安2

B2 L 2 1 υ1

R

=

B2 L 2 2 υ2

R

…⑦
解得  L2=

v1 v2

L1=2m…⑧
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過程中，做勻速直線運動，感應電動勢大小與位置（Ⅱ）時的感應電動勢大小相等，安培力與位置（Ⅱ）時的安培力大小相等，所以
  F₂=F_安2=4N…⑨
（4）設位置（II）和（Ⅲ）之間的距離為s₂，則
   s₂=v₂t=2 m…⑩
設從位置（I）到位置（Ⅱ）的過程中，外力做功為W₁，從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過程中，外力做功為W₂，則
 W₁=F₁s₁=22.5 J
 W₂=F₂s₂=8 J
根據能量守恒得W₁+W₂+

1

2

m

υ

2 1

=

1

2

m

υ

2 2

+Q
解得Q=38J
答：
（1）金屬棒向右勻減速運動時的加速度大小為1m/s²．
（2）c、d兩點間的距離L₂為2m．
（3）外力F₂的大小為4N
（4）金屬棒從位置（I）運動到位置（Ⅲ）的過程中，電阻R上放出的熱量Q為38J．

點評：本題是抓住勻減速運動的特點：合力一定，加速度一定，分析棒的受力情況，同時，要掌握安培力的經驗公式F=

B2L2v

R

，從力和能兩個方面研究本題．